Komp. metr. Raum zusammenhängend (gdw)

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Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
Komp. metr. Raum zusammenhängend (gdw)
Meine Frage:
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Ein kompakter metrischer Raum ist genau dann zusammenhängend, wenn es für je zwei Punkte und für jedes eine Folge existiert mit und für .

Meine Ideen:
"":

Ich habe bis jetzt folgende Idee und beziehe mich auf die durch die Metrik induzierte Topologie auf .

Sei kompakter metrischer Raum und sowie beliebig.

Dann gibt es zu jeder offenen Überdeckung von X eine endliche Teilüberdeckung:

, K endlich und für ein , für ein .

Also:



Dann gilt, da X zusammenhängend ist:





Weiter komme ich jedoch nicht und ich weiß auch nicht, ob dieser Ansatz zielführend ist.
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast garnicht gesagt, was dein sein soll. Die Komapktheit liefert dir bei gegebener Überdeckung eine Teilüberdeckung. Wähle als Ausgangsüberdeckung z.B. die Menge der -Bälle um alle Punkte in X. Du musst nach Wahl von endlich vielen solcher Punkte dann noch begründen, warum man quasi entlang dieser Punkte springend (Sprungweite je< ) von a nach b kommt. (Zeige, dass es nicht sein kann, dass man von a so zu den Punkten aber nicht zu irgendeinem der restlichen kommt.)
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von juffo-wup
Du hast garnicht gesagt, was dein sein soll.


Die sollen offene Mengen sein, also aus stammen.

Zitat:
Original von juffo-wup
Die Komapktheit liefert dir bei gegebener Überdeckung eine Teilüberdeckung. Wähle als Ausgangsüberdeckung z.B. die Menge der -Bälle um alle Punkte in X.


Okay, da X kompakt ist gibt es eine endliche Teilüberdeckung

(*)

Zitat:
Original von juffo-wup
Du musst nach Wahl von endlich vielen solcher Punkte dann noch begründen, warum man quasi entlang dieser Punkte springend (Sprungweite je< ) von a nach b kommt. (Zeige, dass es nicht sein kann, dass man von a so zu den Punkten aber nicht zu irgendeinem der restlichen kommt.)


Das habe ich noch nicht verstanden.
Braucht man dort, daß X zusammenhängend ist?


Ich würde erstmal sagen:

Seien nun .

Wegen (*) liegen a und b jeweils mindestens in einer der Kugeln, also

und ebenso

.
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010
Die sollen offene Mengen sein, also aus stammen.

Wenn du die O_k nicht konkreter wählst, kannst du damit aber nichts beweisen.

Zitat:
Das habe ich noch nicht verstanden.
Braucht man dort, daß X zusammenhängend ist?

Ja. Bilde die Vereinigung der zu gehörigen Bälle. Wenn keiner der restlichen Bälle diese Vereinigung schneidet, dann auch nicht deren Vereinigung. Das geht aber aufgrund des Zusammenhangs nicht.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss leider erst noch verstehen, was Du mit

meinst.


Edit: Sollen das alle bis auf dasjenige sein, in deren Kugel a liegt?
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Es sind endlich viele Bälle um
Wenn 2 dieser Bälle sich schneiden, dann sind die Mittelpunkte weniger als voneinander entfernt. Außerdem liegt a sicher in einem dieser Bälle und ist von dem entsprechenden Mittelpunkt weniger als entfernt. Man kann doch jetzt fragen, welche Ballmittelpunkte kann man von a aus noch erreichen in einer Folge von Punkten, bei der nacheinander kommende Punkte immer Abstand haben. Zu zeigen ist ja, dass b sich so erreichen lässt. Dafür reicht es zu zeigen, dass man alle Ballmittelpunkte so erreichen kann. Angenommen man kann nur manche erreichen, aber nicht alle, sagen wir aber nicht die anderen, dann.. (Rest des Beweises)
 
 
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, das habe ich verstanden.


Wie würde man die Rückrichtung beweisen?

Man muss ja zeigen, daß ein kompakter metrischer Raum zusammenhängend ist, wenn es diese Folge gibt mit blablabla.

Oder muss man die Kompaktheit auch noch beweisen?
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Beweise, dass die Menge der Punkte, die man von einem Punkt aus mittels so einer Folge erreichen kann, offen ist und ihr Komplement auch.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde sagen, diese Mengen sind einfach offen, weil man sie als Vereinigung offener Kugeln schreiben kann.
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Ja
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, eine letzte Frage.

Damit hat man jetzt gezeigt, daß X zusammenhängend ist?

Also man kann X schreiben als die Vereinigung zweier offener Mengen und deren Schnitt ist nicht leer.


Die eine Menge besteht jeweils aus den Punkten a und b und den Punkten dazwischen, die man (bei a angefangen und aufgehört bei b) erreichen kann mit Abstand kleiner Epsilon.

Die andere Hälfte bilden alle anderen Punkte von X.

Wieso ist der Schnitt dann nicht leer?
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldigung, mein letzter Tipp war noch nicht zielführend. Moment.

edit: Eine Möglichkeit:
Wenn X in A und B zerfällt, die offen und abgeschlossen sind, dann sind auch A und B kompakt als abg. Teilräume eines kompakten Raumes. Dann kann es aber nicht beliebig nah aneinanderliegende Punkte in A und B geben, denn wenn es gäbe mit dann hätte diese Folge einen Grenzwert, der in A und B liegt. (kompakte metrische Räume sind vollständig.)
Wenn man jetzt klein genug wählt, kann man Punkte in A nicht mehr mit Punkten in B verbinden (durch Folgen von Punkten, die voneinander Abstand haben).

Ich bin jetzt erstmal nicht mehr online.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Und es ist nicht möglich einfach zu sagen, wenn man nach Annahme die Punkte a und b so verbinden kann...

daß man dann einfach Epsilonkugeln um die Punkte zieht (und X ist die Vereinigung dieser Kugeln, weil X kompakt ist), die sich schneiden müssen und wenn X nicht zusammenhängend wäre, hätte man, daß X sich zerlegen lässt in zwei offene Mengen, deren Schnitt aber leer ist, womit es die Verbidung zwischen a und b aber nicht gäbe?
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010
, hätte man, daß X sich zerlegen lässt in zwei offene Mengen, deren Schnitt aber leer ist, womit es die Verbidung zwischen a und b aber nicht gäbe?

Und wie ist sichergestellt, dass sich diese beiden offenen Mengen nicht beliebig nahe kommen können?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe den Einwand leider nicht.
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meine, wie folgt daraus, dass es keine Verbindung von a und b gibt?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann zurück zu Deiner Idee mit der Vollständigkeit.

Sehe ich das richtig, daß da die Abstände zwischen den Punkten immer kleiner werden und wenn man daher ein kleines Epsilon vorgibt, klappt das mit dem Abstand (der immer kleiner Epsilon sein soll am Anfang der Folge nicht?
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe nicht so ganz, was du meinst. Es existiert ein Epsilon, sodass für je 2 Punkte in A und B diese beiden Punkte Abstand >= Epsilon haben. Andernfalls könnte man mit der Vollständigkeit wie gesagt zeigen, dass A und B einen gemeinsamen Punkt haben. Wenn es irgendeine Abfolge von Punkten mit Abständen <epsilon von a nach b gäbe, dann gibt es k mit aber das ist ein Widerspruch.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von juffo-wup
Andernfalls könnte man mit der Vollständigkeit wie gesagt zeigen, dass A und B einen gemeinsamen Punkt haben.


Das ist mir noch unklar.
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von juffo-wup
Dann kann es aber nicht beliebig nah aneinanderliegende Punkte in A und B geben, denn wenn es gäbe mit dann hätte diese Folge einen Grenzwert, der in A und B liegt. (kompakte metrische Räume sind vollständig.)


OK, das war etwas schlampig formuliert.
Die Folge hat eine konvergente Teilfolge (Folgenkompaktheit von X)
Die Folge hat eine konvergente Teilfolge (auch)
Natürlich gilt noch
Wegen der Abgeschlossenheit von A,B gilt
Nun gilt für alle
und somit für alle
Also
Jetzt habe ich doch nicht die Vollständigkeit benutzt bzw. nur in Form von der Folgenkompaktheit. Sorry für eventuelle Irreführung.
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