Beweis

18.03.2012, 16:53

Domi91

Beweis

Meine Frage:
Ich muss folgendes Beweisen.
a und b sind Elemente der positiven Reellen Zahlen.

$\begin{eqnarray*} (a+b)(\frac{1}{a} +\frac{1}{b} ) \geq 4 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe die Ungleichung umgeformt zu
$\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} +\frac{b}{a} \geq 2 \end{eqnarray*}$ .
Ich weiss das der Term links nicht mehr unter 2 fallen kann. Aber dennoch frage ich mich wie ich das jetzt schlussendlich beweise. Danke schonmal im Vorraus smile

18.03.2012, 16:57

Bjoern1982

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Gehe noch einen Schritt weiter und multipliziere die Gleichung mit dem Hauptnenner und denke dann an eine binomische Formel.

18.03.2012, 17:07

Domi91

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Dann habe ich $\begin{eqnarray*} (a+b)(a-b)\geq 2ab \end{eqnarray*}$
Jetzt weiss ich aber wieder nicht weiter -.-

18.03.2012, 17:10

Bjoern1982

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Ein Minuszeichen kann hier (zumindest an dieser Stelle) niemals entstehen.
Auf der linken Seite verbleiben im Prinzip nur zwei Quadrate.

18.03.2012, 17:47

Domi91

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Super

habs jetzt.

Hätte aber noch n Problem bei einer anderen Beweisaufgabe.
Bewiesen werden soll folgende Ungleichung:
$\begin{eqnarray*} ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)\geq 6abc \end{eqnarray*}$

Ich habe wie folgt umgeformt

$\begin{eqnarray*} \frac{a+b}{c} +\frac{b+c}{a} +\frac{a+c}{b} \geq 6 \end{eqnarray*}$

Wie verfahre ich hier weiter?

18.03.2012, 17:54

Bjoern1982

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Zerlege die Brüche noch jeweils in 2 Teilsummanden und benutze dann das hier:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} +\frac{b}{a} \geq 2 \end{eqnarray*}$ .

18.03.2012, 18:38

Domi91

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Bekomme dann das hier raus
$\begin{eqnarray*} a(b^{2} +c^{2})+b(a^{2} +c^{2} )+c(a^{2} +b^{2}) -6abc\geq 0 \end{eqnarray*}$

Weiss dann aber abermals nicht weiter.

18.03.2012, 19:00

Bjoern1982

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{a+b}{c} +\frac{b+c}{a} +\frac{a+c}{b} \geq 6 \end{eqnarray*}$

Ich meinte an dieser Stelle hier aus jedem der drei Bruchterme die Summer zweier Brüche machen...

19.03.2012, 18:14

Domi91

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Habe ich auch gemacht.

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{c} +\frac{b}{c} +\frac{b}{a} +\frac{c}{a} +\frac{a}{b} +\frac{c}{b} \geq 6 \end{eqnarray*}$

in den weiteren Schritten bekam ich dann das raus was oben steht. -.- Wie muss ich denn jetzt ab hier ungefähr weiterverfahren?

19.03.2012, 20:09

Bjoern1982

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Siehst du es wirklich nicht ? verwirrt

Ich habe doch oben nochmal zitiert was du benutzen sollst.

Etwas umsortiert hast du dann doch sowas hier:

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} +\frac{b}{a} +\frac{a}{c} +\frac{c}{a} +\frac{b}{c} +\frac{c}{b} \geq 6 \end{eqnarray*}$

21.03.2012, 15:30

Domi91

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Ja. Nur was stell ich dann damit an ist ja meine Frage^^

21.03.2012, 18:05

Bjoern1982

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Es steht bereits alles hier im Thread, mehr kann ich leider nicht tun.

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