Für welchen Parameter ist die Funktion stetig im Punkt 0

18.03.2012, 18:56	Iuke	Auf diesen Beitrag antworten »
Für welchen Parameter ist die Funktion stetig im Punkt 0 Meine Frage: $\begin{eqnarray} <br /> f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}<br /> f(x):=\left\{\begin{matrix}<br /> & \\ (1+x)^{a/x} (fuerx>0)<br /> & \\ e(fuer x=0)<br /> & \\ \frac{e^{x+1}-e}{x}(fuer x<0)<br /> \end{matrix}\right. \end{eqnarray}$ a) Berechnen Sie den linksseitigen Grenzwert $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0^{-} } f(x) \end{eqnarray}$ b) Berechnen Sie den rechtsseitigen Grenzwert $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0^{+} } f(x) \end{eqnarray}$ c) Für welche $\begin{eqnarray} a \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ ist die Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ stetig im Punkt 0? Meine Ideen: a) L'Hopital => e b)Idee: x^y = e^(y*lnx), damit komme ich auf e^a Sind diese Grenzwerte richtig? Inwieweit brauche ich diese für c)? Ich habe bei c) gar keine Ahnung was ich wie rechnen soll. Rein vom überlegen her denke ich, dass die funktion bei 0 (also der y-Achse) nicht stetig ist das heißt sie endet von links her an einem anderen Punkt als sie von rechts her kommt. Dass heißt ich müsste das a so wählen, dass sich beide Funktionen schneiden bei x=0, sprich an der y Achse treffen. Heißt das es muss gelten, dass beide Grenzwerte gleich groß sein müssen? Also faktisch e=e^a, womit a=1 sein müsste? Dann hätte ich aber (1+0)^(1/0) = ungültig da durch 0 geteilt wird Ach jetzt hab ich schon wieder mehr geschrieben als ich wollte, ich freue mich auf eure Erläuterungen und Ratschläge zum Teil c)! VIELEN VIELEN DANK!
18.03.2012, 19:23	original	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Für welchen Parameter ist die Funktion stetig im Punkt 0 du hast doch alles richtig gemacht es fehlt nur die Schlussfolgerung an der Stelle x=0 - existiert ein Funktionswert f(0)=e - existiert ein linksseitiger Grenzwert gl= e - existiert ein rechtsseitiger Grenzwert gr = e^(a) f wäre stetig bei x=0 , wenn ein Grenzwert g existiert dh wenn gl=gr und wenn g=f(0) ... und das ist der Fall für a=1 oder?

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