Blutgruppe Wahrscheinlichkeit

18.03.2012, 19:00

SpanischLiebling

Auf diesen Beitrag antworten »

Blutgruppe Wahrscheinlichkeit

In Italien hat ein Mensch mit einer Wahrscheinlichkeit von p=1/3 die Blutgruppe A.

1) Für eine Untersuchung benötigt man 100 Personen mit der Blutgruppe A, wieviele Leute muss man mindestens auswählen, damit man mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von 90% genügend Personen mit dieser Blutgruppe bekommt?

2) Welchen Umfang muss eine Stichprobe mindestens haben, damit man den Anteil von Blutgruppe B in einer Population auf 0.5% genau bestimmen kann (Sicherheitswahrscheinlichkeit = 90%) ?

Man beachte, dass in Europa der Anteil an der blutgruppe B zwischen 10% und 20% liegt.

Ich weiss leider nicht was ich hier bei der ersten Aufgabe machen muss, variire jedoch zwischen Konfidenzintervallen und einem Stichprobenumfang. Kann mir bitte jemand auf die Sprünge helfen?

Bezüglich der AUfgabe 2 weiss ich, dass ich einfach ein Stichprobenumfang ermitteln soll. Nun weiss ich leider nicht was aber die Wahrscheinlichkeit für Blutgruppe B ist, da dort zwischen 10 und 20% steht. Soll ich das maximale immer nehmen also 20% als p oder das minimale 10%? Rechnung an sich weiss ich.

18.03.2012, 20:36

SpanischLiebling

Auf diesen Beitrag antworten »

Bezüglich der zweiten Teilaufgabe habe ich nun einfach beide Wahrscheinlichkeiten für den Stichprobenumfang genutzt also p=010 und p=0,20. Das Ergebnis von p=20 besitzt einen größeren Wert als diese mit p=0,10. Deshalb ist es glaube ich sicherer den Stichprobenumfang mit p=20 zu nutzen.

Trotzdem bleibt mir die Teilaufgabe 1 immer noch ein sehr großes Rätsel.^^^^

18.03.2012, 23:42

frank09

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Blutgruppe Wahrscheinlichkeit
$\begin{eqnarray*} B(n;p=0.33;k>99)=0,9 \end{eqnarray*}$

19.03.2012, 00:03

SpanischLiebling

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das habe ich mir bereits gedacht. Aber wie berechnen ich denn nun n? Ich glaube mal, dass ich nicht einfach so =0 setzen kann und die Gleichung einfach auflösen kann mithilfe der Formel zur Binomialverteilung.^^

19.03.2012, 01:18

frank09

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Blutgruppe Wahrscheinlichkeit
Wenn du nicht auf diverse Tools zur Berechnung von Binomialverteilungen im Internet oder auf Tabellen zurückgreifen willst, geht die Annäherung durch Normalverteilung:
(mit Stetigkeitskorrektur)
$\begin{eqnarray*} P(X>99.5)=1-\Phi(X=99.5)=0,9 \end{eqnarray*}$ also
$\begin{eqnarray*} \Phi(X=99.5)=0,1 \end{eqnarray*}$
Nun in Standardnv. umrechnen
$\begin{eqnarray*} Z=\frac{X-0,33n}{\sqrt{0.222n}} \end{eqnarray*}$
Es gilt $\begin{eqnarray*} \Phi(Z=-1,28)=0,1 \end{eqnarray*}$

Werte für X und Z einsetzen und nach n auflösen.

19.03.2012, 23:34

SpanischLiebling

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, ich würde das gerne von den Tabellen auch ablesen können. Wie muss ich denn da genau vorangehen?

gruß.

Anzeige

19.03.2012, 23:59

frank09

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Blutgruppe Wahrscheinlichkeit
Die allermeisten Tabellen enden bei n=200.
Du kannst hier aber deine Werte ausrechnen, um dich an dein gesuchtes n "heranzutasten":
http://web.me.com/helmuthecken/jsrechner...verteilung.html
PS: Dein gesuchtes n liegt zwischen 300 und 350. Fragst du "nur so" nach der Tabelle oder kommst du mit dem Auflösen der Gleichung nicht zurecht?

20.03.2012, 00:10

SpanischLiebling

Auf diesen Beitrag antworten »

Ne, möchte das einfach mithilfe der Tabellen der kummulierten Verteilung hinkriegen. Leider lässt diese bei mir im Tafelwerk nur ein maximales n von 50 zu. Gibt es trotzdem eine Möglichkeit das hiermit anzuwenden?

Gruß.

20.03.2012, 00:28

frank09

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, eigentlich nicht. Wenn du es dennoch versuchst, würdest du diese n-50-Tabelle als schlechte Annäherung für viel höhere n "missbrauchen". Der Rechenaufwand ist im Prinzip derselbe, nur dass du eben die NV-Tabelle dadurch ersetzen würdest.
PS: Wenn man den NV-errechneten Wert für n aufrundet, stimmt er exakt mit der tatsächlichen Lösung überein.

20.03.2012, 00:41

SpanischLiebling

Auf diesen Beitrag antworten »

Nagut, dann muss das wohl doch rechnerisch gelöst werden.^^ Nun habe ich aber eine Frage bezüglich der Normalverteilung. Brauche ich denn dafür keinen Erwartungswert/eine Standabweichung um das Intervallzu vorgegebenen Wahrscheinlichkeiten zu finden?

20.03.2012, 00:51

frank09

Auf diesen Beitrag antworten »

Die (Standard-) Normalverteilung hat einen festgelegten Erwartungswert von 0 und eine Standardabweichung von 1. Wenn du die Intervallgrenze zu einer bestimmten Wsk abliest, dann entspricht der (z-) Wert der Abweichung vom Mittelwert in Standardabweichungen. Nun musst du zu deiner gegebenen Verteilung natürlich umrechnen.

20.03.2012, 01:04

SpanischLiebling

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bekomme das irgendwie nicht hin. Meine Denkweise soll folgende Skizze zeigen, welche ich ebend kurz erstellt habe. Nun einfach das Intervall zu den gegebenen Intervallen berechnen. Bloß mir fehlen die wichtigen Werte oder funktioniert das gar nicht so?

20.03.2012, 01:27

frank09

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Kurve ist ja symmetrisch, d.h. die kleinen Bereiche rechts und links sind jeweils 5%.
Demzufolge entspricht die Fläche von minus unendlich bis zur Obergrenze 95% und den Werte kannst du für z=1,65 aus der Tabelle ablesen. Und wegen der Symmetrie (in der Mitte ist z=0) muss der untere Wert z=-1,65 sein.

20.03.2012, 01:32

SpanischLiebling

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das habe ich alles auch seit einer halben Stunde.^^ Bloß ich dachte die Werte wären falsch. ^^ Ich habe das ganze mithilfe dem ,,Symetriedenken" und InvNorm Funktion meines GTRs bestimmt.

Aber was mach ich nun mit diesen zwei Werten? Normalerweise habe ich nun mein Ergebnis, aber weshalb nicht hier? Was habe ich denn genau bestimmt gerade? Also welches Intervall.

20.03.2012, 02:01

frank09

Auf diesen Beitrag antworten »

Du weißt, dass dein Intervall eine Breite von ca. 3,29 (2*1,645) Standardabweichungen hat.
Jetzt hängt deine Standardabweichung (Aufg. 2) von n ab. Du weißt aber, dass das Intervall eine Breite von 0,5% (der gezählten Werte) haben soll, also:
$\begin{eqnarray*} 0,005n=3,29\sigma \end{eqnarray*}$
D.h. in 90% aller Zählungen entfernt sich der Wert maximal um 0,25% vom tatsächlichen Wert(=Erwartungswert). Er ist also auf ein halbes Prozent genau.
Wir gehen nun von einer möglichst hohen Standardabweichung aus (p=0,2)
$\begin{eqnarray*} \sigma=\sqrt{np(1-p)}=0,4\sqrt{n} \end{eqnarray*}$
Es ergibt sich
$\begin{eqnarray*} 0,005n=1,316\sqrt{n} \end{eqnarray*}$
PS: Weiter oben hast du etwas von einem Stichprobenumfang p=20 geschrieben.
p ist die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten der Blutgruppe. Stichprobenumfang ist n.

20.03.2012, 19:57

SpanischLiebling

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von frank09
Du weißt, dass dein Intervall eine Breite von ca. 3,29 (2*1,645) Standardabweichungen hat.
Jetzt hängt deine Standardabweichung (Aufg. 2) von n ab. Du weißt aber, dass das Intervall eine Breite von 0,5% (der gezählten Werte) haben soll, also:
$\begin{eqnarray*} 0,005n=3,29\sigma \end{eqnarray*}$
D.h. in 90% aller Zählungen entfernt sich der Wert maximal um 0,25% vom tatsächlichen Wert(=Erwartungswert). Er ist also auf ein halbes Prozent genau.
Wir gehen nun von einer möglichst hohen Standardabweichung aus (p=0,2)
$\begin{eqnarray*} \sigma=\sqrt{np(1-p)}=0,4\sqrt{n} \end{eqnarray*}$
Es ergibt sich
$\begin{eqnarray*} 0,005n=1,316\sqrt{n} \end{eqnarray*}$
PS: Weiter oben hast du etwas von einem Stichprobenumfang p=20 geschrieben.
p ist die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten der Blutgruppe. Stichprobenumfang ist n.

Leider verstehe ich nicht folgenden Schritt:

$\begin{eqnarray*} \sigma=\sqrt{np(1-p)}=0,4\sqrt{n} \end{eqnarray*}$
Es ergibt sich
$\begin{eqnarray*} 0,005n=1,316\sqrt{n} \end{eqnarray*}$

20.03.2012, 23:23

frank09

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Blutgruppe Wahrscheinlichkeit
Die binomialverteilte Zufallsgröße X="Anzahl der Personen mit Blutgruppe B in einer Stichprobe" hat natürlich auch eine Standardabweichung. Die hängt von der Wks des Auftretens p und der Anzahl n der Befragten ab.
Für jede binomialverteile ZV gilt
$\begin{eqnarray*} \sigma=\sqrt{np(1-p)} \end{eqnarray*}$
Wenn man für p=0,2 einsetzt ergibt sich (n ist ja noch unbekannt)
$\begin{eqnarray*} \sigma=0,4\sqrt{n} \end{eqnarray*}$
Nun in der bereits erklärten Gleichung $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ ersetzen:
$\begin{eqnarray*} 0,005n=3,29\sigma=3,29\cdot0,4\sqrt{n}=1,316\sqrt{n} \end{eqnarray*}$
Es heißt zwar, dass p zwischen 0,1 und 0,2 liegt. Wenn man aber sicher gehen will,
unterstellt man das höhere p.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »