Variablen wählen damit Geraden identisch sind oder sich schneiden

18.03.2012, 21:09	Mia_	Auf diesen Beitrag antworten »
Variablen wählen damit Geraden identisch sind oder sich schneiden Meine Frage: Geben Sie die Werte für die Variablen a,b,c und d so an, dass die Geraden $\begin{eqnarray} g: \vec{x} = \begin{pmatrix} -5 \\ 7 \\ a \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} b \\ -6 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ c \\ 3 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ d \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ a) identisch sind, b) sich schneiden. Meine Ideen: Damit g und h identisch sind, muss doch folgendes gelten: g=h. Also habe ich dieses getan und darauf folgendes Gleichungssystem aufgestellt: $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} -5 + rb = 1 - 3s \\ 7 - 6r = c + 3s \\ a + 2r = 3+ sd \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Nun ist mein Gleichungssystem aber überbestimmt und deshalb komme ich nicht weiter. Kann mir vielleicht jemand helfen? Das wäre super lieb. Liebe Grüße Mia
18.03.2012, 21:32	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Variablen wählen damit Geraden identisch sind oder sich schneiden Am besten untersuchst du nur die fogenden Vektoren: $\begin{eqnarray} RV1=\begin{pmatrix} b \\ -6 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} RV2=\begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ d \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} V3= \begin{pmatrix} -5 \\ 7 \\ a \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 1 \\ c \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ RV1,RV2 und V3 sind parallel= g+h identisch RV1,RV2 und V3 sind komplanar= g+h schneiden sich
18.03.2012, 21:37	Mia_	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke frank09! Aber wie bist du darauf gekommen ? Und wenn ich versuche diese zu untersuchen, stoße ich wieder auf mein Altes problem: zu viele Variable und zu Wenig Gleichungen.
18.03.2012, 22:49	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
Dass die RVektoren identischer Geraden parallel sein müssen, ist offensichtlich. Zusätzlich muss der Verbindungsvektor V3 (=P1-P2) zwischen den beiden Stützpunkten P1 und P2 auf g und h auch parallel sein,weil sich P1 durch die Geradengleichung h darstellen lässt: $\begin{eqnarray} P_1=P_2+r\cdot RV_2 \leftrightarrow (P_1-P_2)=r\cdot RV_2 \end{eqnarray}$ (parallel) Wenn sich beide Geraden schneiden, müssen sie ja in einer Ebene liegen, deren Spannvektoren RV1 und RV2 sind. Demzufolge lässt sich P1 wie folgt darstellen: $\begin{eqnarray} P1=P2+r\cdot RV1+s\cdot RV2 \leftrightarrow (P1-P2)=r\cdot RV1+s\cdot RV2 \end{eqnarray}$ (komplanar/ in einer Ebene liegend) Parallelität lässt sich leicht herstellen: aufgrund der 2.Koordinate muss ja gelten $\begin{eqnarray} RV_1=-2RV_2 \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} b=-2(-3)=6 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2=-2d; d=-1 \end{eqnarray}$ aufgrund der 1.Koordinate gilt:V3=2RV2, etc. Für Komplanarität muss sich V3 durch RV1 und RV2 darstellen lassen: $\begin{eqnarray} b-3=-6 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -3=7-c \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2+d=a-3 \end{eqnarray}$ Du kannst sogar eine Variable frei wählen (z.B. a=3)
19.03.2012, 08:27	Mia_	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, vielen Dank! Jedoch habe ich im letzten Schritt nach deinen Anweisungen etwas anderes raus. Ich bin auf folgende Gleichungen gekommen: $\begin{eqnarray} -5 = b - 3 => b = -2<br /> <br /> 7 = 2 + d => d = 5<br /> <br /> a = 2 + d => a = 7 \end{eqnarray}$
19.03.2012, 15:22	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast V3 durch P1 ersetzt, richtig ist $\begin{eqnarray} V_3=P_1-P_2=\begin{pmatrix} -6 \\ 7-c \\ a-3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Es soll gelten: $\begin{eqnarray} RV_1+RV_2=V_3 \end{eqnarray}$ Ich habe dir das Gleichungssystem doch schon hingeschrieben.
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