Differenzenquotienten |
| 18.03.2012, 21:42 | Adnan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Differenzenquotienten ich habe die funktion f(x) 1,5x^2 und soll mit dem differenzenquotienten die momentane geschwindigkeit zum zeitpunkt = 1 und = 3 (durch vier annährungen, keine einfache ableitung!) berechnen kann mir jemand helfen ich weiss nicht wie das mit den vier annährungen gehen soll. Meine Ideen: - |
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| 18.03.2012, 21:47 | Paranoide | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zunächst gehe ich davon aus, dass es sich bei der Funktion f um eine Beschreibung des zurückgelegten Weges handelt, damit die Ableitung der Geschwindigkeit entspricht. Dann solltest du dir überlegen, was der Differenzenquotient ist bzw. was er aussagt und wieso man mit ihm die Ableitung erhält bzw. solltest du dir klarmachen, was die Ableitung ist. LG Michel |
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| 18.03.2012, 21:51 | Adnan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
denn differenzenqutient berechnet man ja so: |
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| 18.03.2012, 21:54 | Paranoide | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Richtig. Jetzt musst du dir noch passende Werte für die Variablen überlegen, die dem gewünschten Ergebnis möglichst nahe kommen. |
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| 18.03.2012, 21:58 | Adnan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wie komme ich auf die Variablen |
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| 18.03.2012, 22:03 | Paranoide | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok, anders: Was genau ist denn die Ableitung? Was beschreibt sie? Und was bedeutet der Differenzenquotient im Bezug zur Ableitung? |
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| 18.03.2012, 22:08 | Adnan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok. Die Ableitung erstellen wir für die Tangente. Die Tangente berührt den Graph in einem punkt und bestimmt die Steigung in dem moment. Die Ableitung ist dafür da um die steigung der Tangente zu bestimmen. |
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| 18.03.2012, 22:14 | Paranoide | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sehr gut. Jetzt kommt noch der Differenzenquotient ins Spiel. Was sagt der denn aus? Und was hat der mit der Ableitung zu tun? |
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| 18.03.2012, 22:17 | Adnan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
der differenzenquotient bestimmt die Steigung also im prinzip hat es die gleiche aufgabe wie die ableitung für die tangente oder? |
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| 18.03.2012, 22:19 | Paranoide | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Fast. Die Ableitung ist der Grenzübergang von , also wenn der Abstand unendlich klein wird. Wenn du zwei beliebige Punkte x_1 und x_2 nimmst, dann zeichnest du sozusagen eine Gerade vom einen Punkt zum anderen und bestimmst mit dem Quotienten die Steigung dieser. Wenn die Punkte als sehr weit auseinander liegen, kann die tatsächlich Steigung natürlich ganz anders sein. |
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| 18.03.2012, 22:23 | Adnan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok dann denke ich mal dass ich beim differenzenqutienten in die variable meine angaben t_0 = 1 und t_1 = 3 einsetzten muss. |
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| 18.03.2012, 22:29 | Paranoide | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein. Das sind zwei verschiedene Aufgaben, t_0 und t_1. Betrachten wir zunächst mal nur t_0. Wir wollen jetzt die Steigung an dieser Stelle berechnen, und zwar möglichst genau. Dazu bastelst du dir jetzt ein Steigungsdreieck an dieser Stelle und berechnest die Steigung mithilfe des Differenzenquotienten. Nochmal: Die Ableitung, also die GENAUE Steigung wäre, wenn x_1 und x_2 einen UNENDLICH kleinen Abstand hätten. Das ist so per Hand erstmal nicht zu machen. Auf der anderen Seite dürfen x_1 und x_2 aber auch nicht allzu weit auseinander sein, sonst wird es zu ungenau. Dann gebe ich dir noch einen Tipp: Ich würde zunächst x_1 = 1 setzen. Wie könnte man jetzt x_2 setzen? (Die Aufgabe wird an dieser Stelle wohl ein wenig kreativ gestaltet sein, da man sich den Wert für x_2 jetzt selbst überlegen kann...allerdings sollte er in einem realistischen Rahmen sein, d.h. wie oben schon gesagt: Nicht zu weit weg von x_1 !!!). |
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| 18.03.2012, 22:36 | Adnan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
kannst du mir einen kleinen vorbeispiel machen indem du mir das steigungsdreiek bisschen vormachst? ich nicht welche variable wohin gehören. |
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| 18.03.2012, 22:38 | Paranoide | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Fragen wir mal so: Du weißt schon, wie sich y_2 und y_1 erhalten lassen, wenn du x_2 und x_1 kennst, oder? |
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| 18.03.2012, 22:47 | Adnan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja wenn ich meine x werte kenne dann schon aber ich brauche ja dafür eine zeichnung um das sehen zu können |
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| 18.03.2012, 23:01 | Adnan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
......? |
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| 18.03.2012, 23:05 | Paranoide | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zeichne dir 1,5*x^2 auf und markiere den Punkt bei x_1 = 1. Jetzt nimmst du einen weiteren Punkt x_2, der möglichst nahe an diesem dran liegt und verbindest diese beiden. Der horizontale Abstand ist dann und der vertikale Abstand ist . Die Steigung ist dann der Quotient aus dem vertikalen Abstand durch den horizontalen, also Bei google hab' ich dazu sowas gefunden, das hilft vielleicht: http://www.tydecks.info/online/Bilder/Steigungsdreieck.gif |
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| 18.03.2012, 23:16 | Adnan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
2-1/6-1,5 gehen diese punkte? |
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| 18.03.2012, 23:21 | Paranoide | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kannst du das nochmal lesbar aufschreiben? |
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| 18.03.2012, 23:25 | Adnan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok. |
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| 18.03.2012, 23:30 | Paranoide | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich persönlich würde sagen, dass das zu weit weg ist. Ich hätte jetzt x_1 = 1 und x_2 = 1,01 genommen. Aber die Art und Weise ist richtig. Als nächstes musst du wohl die andere Seite nehmen, also x_1 = 0,99 und x_2 = 1, das wäre dann deine zweite Annäherung und insgesamt kommst du dann am Ende auch auf vier! Schließlich nimmst du dann den Durchschnitt der beiden berechneten Steigungen und das ist dann deine angenäherte Steigung in diesem Punkt. |
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| 18.03.2012, 23:57 | Adnan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
danke. |
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