Zweite Ableitung von einer Funktion mit einer binomischen Formel im Nenner

19.03.2012, 12:20

Volar

Zweite Ableitung von einer Funktion mit einer binomischen Formel im Nenner

Meine Frage:
Hallo,
ich muss zugeben, Schulwissen liegt schon ewig zurück und ich bin kompletter Neuling im Bereich der Differentialrechnung... Und ich schaffs einfach nicht die zweite Ableitung von folgender Funktion herzustellen:
$\begin{eqnarray*} \frac{x^3}{x^2-3} \end{eqnarray*}$

Auf die erste Ableitung f'(x) bin ich noch selber gekommen:
$\begin{eqnarray*} \frac{x^4-9x^2}{(x^2-3)^2} \end{eqnarray*}$

Und von dieser muss ich die zweite Ablösung f''(x)herleiten.
Die Lösung ist mir bekannt:
$\begin{eqnarray*} \frac{6x^3+54x}{(x^2-3)^3} \end{eqnarray*}$

Allerdings ist es mir völlig schleierhaft, wie ich auf die Lösung für die zweite Ableitung komme...

Meine Ideen:
Wenn ich die binomische Formel im Nenner auflöse und diese und deren Ableitung in die Quotientenregel einsetze, bekomm ich alles raus, nur nicht das richtige Ergebnis...
Kann mir jemand den Rechenweg erklären, was ihr ggf. wo ausklammert oder kürzt? Dank euch schon mal im Voraus...

19.03.2012, 12:27

klarsoweit

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RE: Zweite Ableitung von einer Funktion mit einer binomischen Formel im Nenner
Der "Trick" ist, daß du (x² - 3)² ableitest, ohne vorher die Klammer aufzulösen. smile

19.03.2012, 12:38

Volar

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Du meinst, ich leite es in 2x²-6 ab und benutzte das in der Quotientenregel?

Oh Mann, ich tun nun seit Stunden immer wieder mit der Aufgabe rum und steh voll aufm Schlauch unglücklich

Irgendwie komm ich mit dem Tipp auch nicht weiter...

19.03.2012, 12:53

Mulder

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Zitat:

Original von Volar
Du meinst, ich leite es in 2x²-6 ab und benutzte das in der Quotientenregel?

Nein, du leitest den Nenner richtigerweise zu

$\begin{eqnarray*} 2(x^2-3)\cdot 2x \end{eqnarray*}$

ab, nach der Kettenregel. Und dann einsetzen. Es ist doch ansonsten nur stumpfes Runterrechnen, da kann man nicht "auf dem Schlauch stehen". Wenn, dann verrechnest du dich halt einfach an irgendeiner Stelle (was ja durchaus vorkommen kann, aber dann zeig doch eben deine Rechenschritte, dann kann man dir sofort sagen, was falsch läuft).

Der Vorteil daran, diese binomische Formel nicht auszumultiplizieren, ist, dass du dann nach dem Einsetzen leichter erstmal was wegkürzen kannst.

19.03.2012, 13:44

Volar

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Ok, hier mal mein Rechenweg:

Ich setze das alles in die Quotientenregel ein (Das Ergebnis der Kettenregel habe ich hier bereits ausmultipliziert nach 4x³-12x)

$\begin{eqnarray*} \frac{(4x^3-18x)*(x^2-3)^2-(x^4-9x^2)*(4x^3-12x)}{((x^2-3)^2)^2} \end{eqnarray*}$

dann löse ich noch die binomische Formel im Zähler auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{(4x^3-18x)*(x^4-6x^2+9]-(x^4-9x^2)*(4x^3-12x)}{((x^2-3)^2)^2} \end{eqnarray*}$

Ausmultiplziert komme ich auf folgendes:

$\begin{eqnarray*} \frac{4x^7-24x^5+36x^3-4x^7+12x^5+36x^5-108x^3}{((x^2-3)^2)^2} \end{eqnarray*}$

und genau dann beginnen die Probleme.. egal was ich wegkürzen will, ich komm einfach nicht auf das o.g. Eregebnis... Noch dazu hab ich keinen Plan wie ich den Bruch dividieren soll, so dass im Zähler nur (x2-3)^3 und nicht (x2-3)^4 steht...

Wär klasse, wenn sich jemand die Mühe machen könnte, und mir den richtigen Rechenweg schildern kann. Wär zu tiefstem Dank verpflichtet smile

19.03.2012, 13:49

Mulder

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Zitat:

Original von Volar
Das Ergebnis der Kettenregel habe ich hier bereits ausmultipliziert nach 4x³-12x

Wenn du vorhast, zu kürzen, schneidest du dir meistens nur ins eigene Fleisch, wenn du irgendwas ausmultiplizierst. Dann sieht man das nachher viel schwerer oder gar nicht mehr, was man kürzen kann. Also lass das erstmal bleiben! Belass es bei

$\begin{eqnarray*} 2(x^2-3) \cdot 2x \end{eqnarray*}$

für die Ableitung des Nenners. Dann ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{(4x^3-18x) \cdot (x^2-3)^2 -(x^4-9x^2) \cdot 2(x^2-3) \cdot 2x} { (x^2-3)^4 } \end{eqnarray*}$

Jetzt sieht man sehr schön, dass man im Zähler noch den Faktor

$\begin{eqnarray*} (x^2-3) \end{eqnarray*}$

ausklammern kann und dann kürzt sich das weg, so dass im Nenner das "hoch 3" übrig bleibt.

Wenn du dann nichts mehr kürzen kannst, DANN kannst du ausmultiplizieren, um den Zähler weiter zusammenzufassen.

Also generell: Gerade wenn die Quotientenregel brauchst: Nicht gleich wild alles ausmultiplizieren. Das kann man besser hinterher machen.

19.03.2012, 13:56

Volar

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Vielen, vielen Dank!

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