Komische Integralformel

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Hasenzahn Auf diesen Beitrag antworten »
Komische Integralformel
Hi Leute,

Seien und und . Dann gilt:



Ziemlich komisch, oder? Ein Freund gab mir diese Integralformel und meinte, dass man die mit Analysis 1-Wissen ohne Probleme beweisen kann. Da ich ein Mathestudium beabsichtige und zur Zeit nicht weiter weiß, will ich mal wissen, ob es wirklich so leicht ist, wie es scheinbar aussieht.

Über Eure Hilfe und Beweisideen würde ich mich sehr freuen.

Meine Idee (Wikipedia ) ist: Irgendetwas mit Fourierreihen, weil man dafür doch bestimmt die Periodizität von braucht.
SusiQuad Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komische Integralformel
Meine Idee wäre ...

Ausser für angenehme Spez.Fälle gibt es , sodass , aber , aufgrund der Periodizität von g entspricht dieses nur einer Verfeinerung einer Unterteilung von .
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Mit den Substitutionen folgt zunächst



Jetzt kommt über die Periodiztät ins Spiel, anschließend kann man bzgl. mit Riemannschen Unter- bzw. Obersummen argumentieren...
Hasenzahn Auf diesen Beitrag antworten »

cool, so sieht es sehr leicht aus, obwohl doppelt substituiert wurde. Danke
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Oder so:

Sei G eine Stammfunktion von g.

Betrachte . h ist wieder periodisch mit Periode 1.

Dann ist H mit eine Stammfunktion von H mit


Nun kann man die Behauptung für leicht zeigen, da beide Seiten 0 sind.

Entsprechend kann man die Behauptung natürlich leicht für die konstante Funktion zeigen.

Da beide Terme der Aussage linear bzgl. der periodischen Funktion sind, folgt die Behauptung auch für .


edit: Man spart sich noch ein bisschen Schreibarbeit, wenn man anfangs G(0)=0 fordert, und ab dann G(0) einfach immer weglässt...
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo
Nun kann man die Behauptung für leicht zeigen, da beide Seiten 0 sind.

Rechts ja. Aber dass die Konvergenz gegen Null links "leicht" zu sehen ist, da habe ich gewisse Zweifel. Aber da kann ja Hasenzahn vielleicht was dazu sagen. Augenzwinkern
 
 
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Aber dass die Konvergenz gegen Null links "leicht" zu sehen ist, da habe ich gewisse Zweifel.


Ich mittlerweile auch, es geht leider nur für "leicht".
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