Stochastik Abschätzen von P(A u B)

19.03.2012, 13:55

JoeCamel

Stochastik Abschätzen von P(A u B)

Meine Frage:

Von den Ereignissen A und B in einem Wahrscheinlichkeitsraum (Omega,F,P) ist bekoannt, dass P(A) = 3/4 und P(B)= 1/3 zeigen sie, dass

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{12} \leq P(A\cap B)\leq \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

wie kann man $\begin{eqnarray*} P(A\cup B) \end{eqnarray*}$ abschätzen?

Meine Ideen:
Also ich hätte mir gedacht $\begin{eqnarray*} P(A\cap B) \end{eqnarray*}$ ist im endeffekt P(A) x P(B) also 1/4 weil P(A) und P(B) von einander unabhängig sind... und $\begin{eqnarray*} P(A\cup B) \end{eqnarray*}$ hätte ich als P(A) + P(B) wo dann bei mir 13/12 was ja nicht möglich ist herauskommt. Muss ich also annehmen dass die Wahrscheinlichkeiten P(A) und P(B) sich gegenseiten beinflussen und falls wie? Wäre echt hilfreich falls mir wer weiterhelfen könnte
danke und lg

19.03.2012, 14:06

galoisseinbruder

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P(A) und P(B) beeinflußen sich gegenseitig eher weniger, oder wie soll 3/4 1/3 beeinflußen?
Es ist nirgends erwähnt, und auch völlig unnötig, dass A und B unabhängig sind.
Was du hier brauchst ist schlicht die Siebformel für n=2:
$\begin{eqnarray*} P(A\cup B) = P(A)+P(B) -P(A\cap B) \end{eqnarray*}$
und die obere Schranke folgt aus einer Teilmengenrelation.

19.03.2012, 14:11

Math1986

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RE: Stochastik Abschätzen von P(A u B)

Zitat:

Original von JoeCamel
Meine Frage:

Von den Ereignissen A und B in einem Wahrscheinlichkeitsraum (Omega,F,P) ist bekoannt, dass P(A) = 3/4 und P(B)= 1/3 zeigen sie, dass

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{12} \leq P(A\cap B)\leq \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

wie kann man $\begin{eqnarray*} P(A\cup B) \end{eqnarray*}$ abschätzen?

Meine Ideen:
Also ich hätte mir gedacht $\begin{eqnarray*} P(A\cap B) \end{eqnarray*}$ ist im endeffekt P(A) x P(B) also 1/4 weil P(A) und P(B) von einander unabhängig sind...

Wären diese voneinander unabhängig, dann ist die Argumentation richtig, aber woraus entnimmst du diese Voraussetzung? In der Aufgabenstellung ist das nicht gegeben.
Mir scheint du gehst hier von Voraussetzungen aus, die so nicht gegeben sind.

Zitat:

Original von JoeCamel
und $\begin{eqnarray*} P(A\cup B) \end{eqnarray*}$ hätte ich als P(A) + P(B)

Das gilt im Allgemeinen nur für disjunkte Ereignisse, auch diese Voraussetzung ist nicht gegeben.

Du musst Allgemeiner argumentieren und darfst nur das verwenden, was in der Aufgabenstellung gegeben ist.

19.03.2012, 14:13

JoeCamel

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danke für die Hilfe das mit der Siebformel ist mir klar aber trotzdem versteh ich nicht wirklich wie man auf die Schranken von 1/12 und 1/3 kommt?

19.03.2012, 14:23

galoisseinbruder

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Wie bereits gesagt findet die Siebformel nur für die untere Schranke Verwendung. Hast du schon mal die bekannten Größen eingesetzt? Eine simple Abschätzung und schon stehts da.

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