Monotonie

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19.03.2012, 14:20	Computer	Auf diesen Beitrag antworten »
Monotonie Hey Aufgabe: Ich soll mit Hilfe der Ableitung zeigen das die Funktion streng monoton steigend ist und die Umkehrfunktion bilden. $\begin{eqnarray} y=f(x)=\frac{1}{2}ln\frac{1+x}{1-x} \end{eqnarray}$ Definitionsbereich x ungleich 1 $\begin{eqnarray} f'(x)=\frac{1}{\frac{1+x}{1-x}}\frac{(1-x)(1+x)-1}{(1-x)^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(x)=\frac{1-x}{1+x}\frac{x^2-1}{x^2-2x+1}=\frac{1-x}{1+x}\frac{x+1}{x-1}=\frac{1-x^2}{x^2-1} \end{eqnarray*}$ Stimmt das bis dahin so? Bin für jede Hilfe dankbar!
19.03.2012, 14:40	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonie f'(x) stimmt nicht, denn das wäre konstant -1.
19.03.2012, 14:48	Computer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonie Wo hab ich den Fehler gemacht? Ich finde den Fehler nicht.
19.03.2012, 14:57	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonie Da ich die Ableitung auf zwei Arten berechnet habe mit gleichem Ergebnis, habe ich nicht nachgeprüft, an welcher Stelle Deine Rechnung falsch wird. Mir scheint auf jeden Fall der Faktor 1/2 verlorengangen zu sein. Die Ableitung des ln solltest Du nochmal angehen, z. B. mit Ketten-/Quotientenregel oder durch Aufspaltung des ln nach Logarithmusgesetz.
19.03.2012, 15:46	Computer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonie Lautet die Lösung: $\begin{eqnarray} f'(x)=\frac{1}{2(x+1)}+ \frac{1}{2(1-x)} \end{eqnarray}$ so?
19.03.2012, 15:52	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonie Diesen Ausdruck mußt Du noch zu einem Bruch zusammenfassen, dann vereinfacht er sich.
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19.03.2012, 16:03	Computer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonie yeah! $\begin{eqnarray} f'(x)=\frac{1}{2}(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{1-x})=\frac{1}{2}(\frac{2}{-x^2+1})=\frac{1}{-x^2+1} \end{eqnarray}$ so stimmts oder?
19.03.2012, 16:13	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonie Na das hatt ich auch. Im Nenner schreibt man hier 1 - x^2. Es ist nun die Monotonie von f anhand von f' im im Definitionsbereich von f zu zeigen. Letzterer ist hier allerdings noch nicht korrekt angegeben. Bitte ergänzen.
19.03.2012, 16:20	Computer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonie Wenn ich das richtig verstanden habe soll ich jetzt den Definitionsbereich angeben. Ich hab die Funktion einfach mal umgeschrieben und wenn ich jetzt x=1 setze ist das eine ungültige Eingabe. Also muss x ungleich 1 sein? $\begin{eqnarray} f'(x)=\frac{1} {(x-1)(-x-1)} \end{eqnarray}$ Ich hab schonmal die Umkehrfunktion von f(x) gebildet. Bitte um überprüfung. Das hab ich bei der Umkehrfunktion raus: $\begin{eqnarray} y=\frac{1}{2}ln \frac{1+x}{1-x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x=\frac{1}{2}ln \frac{1+y}{1-y} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2x=ln(1+y)-ln(1-y) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e^{2x}=1+y-1+y \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2y=e^{2x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y=\frac{1}{2}e^{2x} \end{eqnarray*}$
19.03.2012, 16:27	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonie x darf nicht 1 sein, weil der Nenner nicht 0 sein darf. Das genügt aber nicht, da auch der Definitionsbereich des ln insgesamt eingeschränkt ist. Mit Deiner Angabe wären noch alle x-Werte außer 1 zulässig. Zur Umkehrfunktion komm ich dann gleich.
19.03.2012, 17:05	Computer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonie ah verstehe. Minuswerte und 0 bei ln geht nicht. Das würde ja heißen das nur x=0 funktioniert?
19.03.2012, 17:11	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonie Nein, der Definitionsbereich ist hier ein Intervall, welches dadurch bestimmt wird, dass man untersucht, für welche x-Werte das Argument des ln (Bruch!) zulässige Werte annimmt. Es ist die entsprechende Ungleichung zu formulieren. Die Umkehrfunktion ist auch nicht korrekt. Falls Dir ein Programm zur Verfügung steht, das Graphen anzeigt, kannst Du dies überprüfen.
19.03.2012, 17:26	Computer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonie Würde meine Ungleichung dann so aussehen? der ln muss ja größer 0 sein denk ich mal. $\begin{eqnarray} \frac{1+x}{1-x} >0 \end{eqnarray}$
19.03.2012, 17:29	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonie So ist es. Hierfür bitte jetzt die Lösungsmenge bestimmen. (x = 1 war ja vorab schon ausgeschlossen)
19.03.2012, 17:47	Computer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonie Ich sag schonmal vorneweg das ich Ungleichungen hasse^^ $\begin{eqnarray} \frac{1+x}{1-x} >0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1+x>0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x>-1 \end{eqnarray}$ Das kann doch nicht hinhauen oder?
19.03.2012, 17:53	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonie Wann ist ein Bruch > 0? (Stichwort: Fallunterscheidung)
19.03.2012, 18:31	Computer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonie Ein Bruch ist >0 wenn Nenner und Zähler positiv sind oder wenn Nenner und Zähler positiv sind. Wenn ich eine Fallunterscheidung mache habe ich: 1 Fall $\begin{eqnarray} 1+x>0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x>-1 \end{eqnarray}$ 2. Fall $\begin{eqnarray} 1+x<0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x<-1 \end{eqnarray}$ Ich bin jetzt eine Weile unterwegs. Werde erst heute Abend/Nacht wieder da sein. Bis dann
19.03.2012, 18:39	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonie Es sollte wohl heißen: "wenn Nenner und Zähler positiv sind oder wenn Nenner und Zähler negativ sind" Es ist die Fallunterscheidung also pro Zweig für je 2 Ungleichungen durchzuführen. Dann erhältst Du für die beiden Zweige zwei Teil-Lösungsmengen, die Gesamt-Lösungsmenge, d. h. der Definitionsbereich, ist dann deren Vereinigungsmenge. Hoffe Du kannst damit was anfangen, wenn Du zurück bist.
20.03.2012, 13:41	Computer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonie Oh sorry hab mich verschrieben. Habs natürlich gemeint wie du es korrigiert hast. Wenn ich das richtig verstanden habe muss ich den Bruch weg machen. Als nächstes < setzen und nach x auflösen. Das gleiche dann mit > machen. und wenn ich beide Lösungen habe ist das mein Definitionsbereich? Müsste ich sozusagen alle Kombinationen durchgehen und dann den größten Bereich wählen?
21.03.2012, 11:55	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonie Mit logischen Operatoren könnte man es so schreiben: $\begin{eqnarray} (1+x>0\wedge 1-x>0)\vee (1+x<0\wedge 1-x<0) \end{eqnarray}$ und dann die zwei Zweige à 2 Ungleichungen nebeneinander zeilenweise lösen. Die Teil-Lösungsmenge eines Zweiges ist die Schnittmenge der beiden Lösungen der jeweiligen 2 Ungleichungen. Die Gesamt-Lösungsmenge ist die Vereinigungsmenge der beiden Schnittmengen.

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