Teilbarkeit durch 15

19.03.2012, 16:16

Hans77

Teilbarkeit durch 15

Meine Frage:
Hallo miteinander.
Also ich soll beweisen, dass (2^4n)-1 durch 15 teilbar ist.

(Tut mir leid, aber ich kenn mich mit Latex noch nicht so gut aus)

Meine Ideen:
Also ich habe versucht das ganze mit Induktion zu zeigen:
Induktionsanfang: n=1
16-1 = 15 stimmt

Induktionsvorraussetzung: (2^4n)-1 ist durch 15 teilbar

Induktionsschritt: n --> n+1
15 teilt [2^4(n+1)]-1
= [(2^4)^(n+1)]-1
= [(2^4)^n] * [2^n] -1
= (2^4n) * (2^n) -1

Ich weiß, dass ich zu einem Ausdruck kommen muss, sodass ich die IV anwenden kann; aber wie?
Danke schonmal im Vorraus.

19.03.2012, 16:23

klauss

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RE: Teilbarkeit durch 15
Zunächst solltest Du
$\begin{eqnarray*} 2^{4(n+1)} -1 \end{eqnarray*}$
sofort wieder in einen Ausdruck zurückführen, der die Induktionsverankerung (Ind.Vorauss.) enthält.

19.03.2012, 16:31

Hans77

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Hi,
also danke für die schnelle Antwort;
aber wie komm ich wieder zu meiner IV, ohne dass ich es so umforme, wie ich es getan habe? verwirrt

19.03.2012, 16:35

klauss

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$\begin{eqnarray*} 2^{4(n+1)} = 2^{4n+4} \end{eqnarray*}$
und jetzt Potenzgesetz

19.03.2012, 16:45

Hans77

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Hmm, dann komm ich ja eigentlich wieder zum selben Punkt wo ich schon bin, oder?
weil

$\begin{eqnarray*} 2^{4(n+1)} -1 = 2^{4n+4} -1 = 2^{4n} * 2^{4}-1 \end{eqnarray*}$

ich komm da ja nicht zu meiner IV wegen der Multiplikation?

19.03.2012, 16:48

klauss

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Ist schon knapp vor der Lösung, nur hier etwas schlecht sichtbar.
Nun bedenke, was $\begin{eqnarray*} 2^{4} \end{eqnarray*}$ ist.

19.03.2012, 17:06

Hans77

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Also wäre das dann

$\begin{eqnarray*} 16 * 2^{4n} - 1 \end{eqnarray*}$

Ich hab aber keinen Schimmer was ich mit der Multiplikation anstellen soll.

19.03.2012, 17:13

klauss

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16 ist gut! Und nun der Zaunpfahl: Wie kann man 16 schreiben unter Verwendung der Zahl, für die die Teilbarkeit bewiesen werden soll?

19.03.2012, 17:17

Hans77

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Achso, jetzt hab ich es endlich kappiert.

Vielen Dank! smile

20.03.2012, 15:35

Mystic

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Zitat:

Original von Hans77
Achso, jetzt hab ich es endlich kappiert.

Hm, willst du damit andeuten, dass du bereits im Besitz der neuen Denk-Kappe bist, welche australische Forscher entwickelt haben, um die Aktivität der rechten Gehirnhälfte zu steigern? Augenzwinkern

In diesem Fall setze sie bitte nochmals auf, und schau dir folgende Lösung an:

$\begin{eqnarray*} 2^{4n}-1 \equiv (2^4)^n -1 \equiv 1^n - 1 \equiv 0 \mod 15 \end{eqnarray*}$

Da du die Aufgabe im Hochschulbereich gepostet hast, geh ich mal davon aus, dass dir die verwendeten Rechenreglen für das Rechnen mod 15 geläufig sind...

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