Reihensumme berechnen

19.03.2012, 16:46

Fabrixxx

Reihensumme berechnen

Meine Frage:
Hallo alle zusammen!
Also ich habe folgende Aufgabe vorliegen:

Berechne die folgenden Reihen unter Verwendung der Gleichung
\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = \frac{\pi^2}{6}

(a) \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)^2}
(b) \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2}
(c) \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2(n+1)}

So... nun meine Frage(wie in der Überschrift) Was heisst jetzt berechne??? Was muss ich tun?
Wäre super, wenn mir das jemand ausführlich erklären könnte! Ich wills endlich verstehen!!!!

Meine Ideen:
Ich habe leider noch keinen ansatz weil ich nicht weiss was ich tun soll... unglücklich

19.03.2012, 16:48

NichtBekannt112

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RE: Was heisst berechne die Reihe???

Zitat:

Original von Fabrixxx
Meine Frage:
Hallo alle zusammen!
Also ich habe folgende Aufgabe vorliegen:

Berechne die folgenden Reihen unter Verwendung der Gleichung
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} \end{eqnarray*}$

(a) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)^2} \end{eqnarray*}$
(b) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2} \end{eqnarray*}$
(c) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2(n+1)} \end{eqnarray*}$

Nur, dass das mal Vernünftig in Latex da steht Augenzwinkern

19.03.2012, 16:52

Fabrixxx

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RE: Was heisst berechne die Reihe???
Oh... smile

19.03.2012, 23:02

NichtBekannt112

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RE: Was heisst berechne die Reihe???
Zur Frage an sich, du musst versuchen, das ganze umzuschreiben und immer auf $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} \end{eqnarray*}$ zurückzuführen.
Vielleicht wird dir das klarer, wenn ich mal die a) als Beispiel vorrechne, den Rest kannst du ja dann selbst probieren smile

Beispiel : Teilaufgabe a)
Hier musst du den Term wie folgt umformen
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)^2}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+...=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}-\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+...=(\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+...)- \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} <br /> -(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+...)=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}-\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n)^2}=\frac{\pi^2}{6}-\frac{1}{4} * \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}-\frac{\pi^2}{24}=\frac{\pi^2}{8} \end{eqnarray*}$

Hoffe, das hilft dir bei den anderen beiden Teilaufgaben. Viel Erfolg wünscht,
NichtBekannt112 smile

20.03.2012, 14:25

Fabrixxx

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RE: Was heisst berechne die Reihe???
Uff, super, Vielen Dank für deine Hilfe!!!!
Habs gerade an Aufgabenteil b) ausprobiert und mit Wolfram Alpha überprüft...- Hat geklappt!

Also kann man das Vorgehen wie folgt betrachten, dass man die einzelnen Summanden der Reihe sortiert um dann zwei neue Reihen zu bilden, die man dann ggf nochmal sortiert. (s. Aufgabenteil b))
Und das Ergebnis ist dann der Grenzwert der Folge.
Ist das so richtig, oder versteh ich das immer noch falsch?

Mfg Fabrixxx

20.03.2012, 16:48

NichtBekannt112

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RE: Was heisst berechne die Reihe???
Korrekt Freude

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