Komplexe Zahlen

19.03.2012, 16:30

t5h46z

Komplexe Zahlen

Hallo,

benötige Hilfe beim Lösen dieser Aufgabe:

Gesucht sind sämtliche Lösungen der komplexen Gleichung:

$\begin{eqnarray*} z^5=1+2i \end{eqnarray*}$

Idee:

$\begin{eqnarray*} r=|z|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \varphi= tan(\frac{2}{1})=63,43° \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1=\sqrt{5}^{(\frac{1}{5} )}*e^{(i*\frac{63,43}{5})}=\sqrt{5}^{(\frac{1}{5} )}*e^{(i*12,69)}=[(cos12,69°)+sin(12,69°)]* \sqrt{5}^{(\frac{1}{5} )}=1,31 \end{eqnarray*}$

19.03.2012, 16:32

sirun

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der Ansatz scheint mich richtig zu sein.. damit hast du jedoch nicht sämtliche Lösungen.. bei der 5. wurzel sind auch 5 Lösungen möglich

19.03.2012, 17:37

Elvis

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Wie soll da eine reelle Wurzel 1,31 daraus werden ? Natürlich ist der Ansatz falsch, denn $\begin{eqnarray*} e^{i\varphi}=cos\varphi+i\cdot sin \varphi \end{eqnarray*}$ ist i.a. komplex.
Wenn man eine Wurzel hat, sind alle 5 symmetrisch auf einem Kreis um 0, man bekommt sie durch Multiplikation mit den 5ten Einheitswurzeln.

19.03.2012, 17:44

t5h46z

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RE: Komplexe Zahlen
Hab noch einen Fehler gefunden :/
Müsste so heißen:

Stimmt das so ?

$\begin{eqnarray*} x_1=\sqrt{5}^{(\frac{1}{5} )}*e^{(i*\frac{63,43}{5})}=\sqrt{5}^{(\frac{1}{5} )}*e^{(i*12,69)}=[(cos12,69°)+i*sin(12,69°)]* \sqrt{5}^{(\frac{1}{5} )}=1,15+0,26i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2=[cos(\frac{arctan(2)+1*\frac{2\pi}{5}}{5})+i*sin(\frac{arctan(2)+1*\frac{2\pi}{5}}{5})]* \sqrt{5}^{(\frac{1}{5} )}=1,05+0,53i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_3=[cos(\frac{arctan(2)+2*\frac{2\pi}{5}}{5})+i*sin(\frac{arctan(2)+2*\frac{2\pi}{5}}{5})]* \sqrt{5}^{(\frac{1}{5} )}= 0,88+0,78i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_4=[cos(\frac{arctan(2)+3*\frac{2\pi}{5}}{5})+i*sin(\frac{arctan(2)+3*\frac{2\pi}{5}}{5})]* \sqrt{5}^{(\frac{1}{5} )}=... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_5=[cos(\frac{arctan(2)+4*\frac{2\pi}{5}}{5})+i*sin(\frac{arctan(2)+4*\frac{2\pi}{5}}{5})]* \sqrt{5}^{(\frac{1}{5} )}=... \end{eqnarray*}$

20.03.2012, 04:13

t5h46z

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Stimmt meine Rechnung jetzt ?

20.03.2012, 09:42

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von t5h46z
Stimmt meine Rechnung jetzt ?

Die erste Wurzel stimmt, bei den anderen ist mir nicht klar, was Du gerechnet hast. Dreh doch einfach den Winkel immer um 72° weiter!

Viele Grüße
Steffen

20.03.2012, 14:13

t5h46z

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hab doch um 72° gedreht oder hab ich da was falsch gemacht ?

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{5}\pi=72° \end{eqnarray*}$

20.03.2012, 14:25

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von t5h46z
hab doch um 72° gedreht

Ja, aber nicht die erste Wurzel. Die hat den Winkel 12,69°. Jetzt dreh den weiter, also auf 84,69° und laß den Betrag gleich. Dann bekommst die zweite Wurzel. Und dann weiter.

Viele Grüße
Steffen

20.03.2012, 14:49

t5h46z

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Irgendwie widerspricht sich das mit deinem ersten Post.

21.03.2012, 08:00

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von t5h46z
Irgendwie widerspricht sich das mit deinem ersten Post.

Wo genau siehst Du einen Widerspruch zwischen

Zitat:

Dreh doch einfach den Winkel immer um 72° weiter!