Lösungsmenge ist Untervektorraum

20.01.2007, 18:41	oerny	Auf diesen Beitrag antworten »
Lösungsmenge ist Untervektorraum Hi, habe hier eine Aufgabe mit Lösung die ich leider nicht ganz nachvollziehen kann: Die Vektoren u,v,w,x spannen einen Unterraum des R^4 auf. $\begin{eqnarray} u=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\0 \end{pmatrix}, v=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\-1 \end{pmatrix}, w=\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \\-2 \end{pmatrix}, x=\begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 0 \\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ a) Welche Diemension hat U b) Geben sie eine Lineare Gleichung an, deren Lösung der Untervektorraum U ist. a) ist klar, gegebene VEktoren als Zeilen schreiben, dann ZeilenStufenForm und mit Hilfe des Rangs Dimension bestimmen dim U = 3 b) Hier wurde wiederrum die 4 Vektoren als Zeilen in eine Matrix geschrieben und mit einer 0 Spalte ergänzt und in Zeilenstufenform gebracht. (eigentlich Prüfe ich doch damit wieder auf Lineare abhängigkeit bzw. ich rechne aus wie ich eienne Vektor aus den anderen 3 kombinieren kann oder? bzw.warum muss ich die "gleichungen" 0 setzen?) soweit ist das ganze noch einigermaßen nachvollzeihbar. NUN zur eigentlichen Frage: warum ist die Lösungsmenge jetzt der Untervektorraum U? $\begin{eqnarray} L = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ -3 \\1 \end{pmatrix} \delta \end{eqnarray*}$ Die Basis von U ist es sicher nicht da hierzu eben 2 Basisvektoren fehlen würden da dimU=3. was genau sagt die Lösungsmenge hier aus? ISt doch eigentlich nur ein Vektor und kein Untervektorraum oder? Oder kommt das ganze vom Dimensionssatz? also dim(Kern(A)) = #Spalten - dim(A) ; da dim A = dim U (Aufgabenteil a) gilt dann dim(Kern(A)) = 1 Danke für die Hilfe.

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