ist ... euklidisch?

19.03.2012, 19:59	alex_eu.	Auf diesen Beitrag antworten »
ist ... euklidisch? es geht darum, zu überprüfen, ob etwas euklidisch ist. ich habe für bspw. Z[i] schonmal gesehen, wie das bewiesen wird. ich weiß auch, dass daraus folgt, dass es ein hauptidealring ist, ebenso, wie aus K ist Körper folgt, dass K[x] euklidisch ist, aber ich habe noch an einer stelle probleme: ich soll jetzt prüfen, ob $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} (\sqrt{2}+ \sqrt{3}) \end{eqnarray}$ euklidisch ist. da habe ich jetzt gar keinen anhaltspunkt, wie ich das mache. ich kenne auch nicht die antwort, ob ja oder nein, deshalb würde ich mich freuen, wenn mir das jemand sagen könnte
19.03.2012, 20:06	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist nicht eher der Ring der ganzen Zahlen $\begin{eqnarray} \mathcal O_K \end{eqnarray}$ des Körpers $\begin{eqnarray} K=\mathbb Q(\sqrt{2}+\sqrt{3}) \end{eqnarray}$ gemeint? Dann hilft folgender Satz: Gibt es zu jedem $\begin{eqnarray} x \in K \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} y \in \mathcal O_K \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|N(x-y)\|<1 \end{eqnarray}$ , so ist $\begin{eqnarray} \mathcal O_k \end{eqnarray}$ euklidisch. Falls jedoch wirklich der Körper gemeint ist, so ist die Aufgabe fast trivial, da jeder Körper euklidisch ist mit Normfunktion $\begin{eqnarray} 0 \neq x \mapsto 1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} 0 \mapsto 0 \end{eqnarray}$
19.03.2012, 21:01	alex_eu.	Auf diesen Beitrag antworten »
ob nicht eher der ring der ganzen zahlen gemeint ist, kann ich leider nicht sagen, weil mir die aufgabe so von einem bekannten erzählt wurde und ich es nicht schriftlich habe, mich aber sehr interessieren würde, wie man sie löst. gibt es so wie ich es formuliert habe keinen zugang, oder ist es unsinnvoll? das was du da schreibst kommt mir leider total unbekannt vor, mit der Norm (das ist das N wohl) und so, so was habe ich noch nie gesehen. gibt es vielleicht noch eine andere argumentationsweise, auf die ich selbst hätte kommen können mit weniger tiefschürfenden grundlagenkenntnissen? freundlichst alex_eu
19.03.2012, 21:12	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann gehen wir mal davon aus, dass wirklich der Körper gemeint ist und dann solltest du mal meinen letzten Satz lesen.
19.03.2012, 21:25	alex_eu.	Auf diesen Beitrag antworten »
oh den edit hatte ich übersehen, sorry. gut, also dann ist es so, dass da kein böser trick mit rein kommt, super. dann muss man ja im prinzip nur nachweisen, dass es sich um einen körper handelt und fertig. vielen lieben dank
19.03.2012, 21:31	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist per Definition ein Körper, da gibt es nichts nachzuweisen.
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