Symetrische Dichte, Beweis

19.03.2012, 20:53

charge

Symetrische Dichte, Beweis

Hallo,

ich will beweisen das gilt:
Sei X eine steige Zufallsvariable. Die zugehörige Dichte f(x) sei symmetrisch um $\begin{eqnarray*} x = \mu \end{eqnarray*}$
Zeige dass $\begin{eqnarray*} EX = \mu \end{eqnarray*}$ gilt.

$\begin{eqnarray*} f(\mu-z) = f(\mu+z) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_\infty ^\infty \! (\mu+z) f(\mu+z) \, dz <br /> =\int_0 ^\infty \! (\mu+z) f(\mu+z) \, dz + \int_\infty ^ 0 \! (\mu+z) f(\mu+z) \, dz <br /> = \int_0 ^\infty \! (\mu-z) f(\mu-z) \, dz + \int_0 ^\infty \! (\mu+z) f(\mu+z) \, dz<br /> = \int_0 ^\infty \! \mu f(\mu-z) \, dz - \int_0 ^\infty \! z f(\mu+z) \, dz + \int_0 ^\infty \! \mu f(\mu+z) \, dz + \int_0 ^\infty \! z f(\mu+z) \, dz \end{eqnarray*}$

wobei die untere Grenze negativ ist, da wollte der Editor nicht so wie ich

Was ich nicht verstehe:
vorletzte Zeile, wieso steht da

$\begin{eqnarray*} = \int_0 ^\infty \! \mu f(\mu-z) \, dz - \int_0 ^\infty \! z f(\mu+z) \, dz \end{eqnarray*}$
und nicht
$\begin{eqnarray*} = \int_0 ^\infty \! \mu f(\mu-z) \, dz - \int_0 ^\infty \! z f(\mu-z) \, dz \end{eqnarray*}$

Hammer

Danke

19.03.2012, 22:55

Math1986

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RE: Symetrische Dichte, Beweis
Es ist im ersten Term
$\begin{eqnarray*} \int_0 ^\infty \! (\mu-z) f(\mu-z) \, dz= \int_0 ^\infty \! \mu f(\mu-z) \, dz - \int_0 ^\infty \! z f(\mu+z) \, dz \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_0 ^\infty \! (\mu+z) f(\mu-z) \, dz= \int_0 ^\infty \! \mu f(\mu-z) \, dz + \int_0 ^\infty \! z f(\mu+z) \, dz \end{eqnarray*}$
Das rechnest du nun jeweils zusammen.

Ich erinnere noch einmal an die Voraussetzung $\begin{eqnarray*} f(\mu-z) = f(\mu+z) \end{eqnarray*}$ , insofern sind beide Lösungen richtig.

PS: Untere Grenzen stellst du durch _{-\infty} dar, also $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^\infty \end{eqnarray*}$

19.03.2012, 22:57

Kasen75

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Hallo,

wenn ich das richtig sehe, wurde hier ausmultipliziert. Und da würde ich deiner Vermutung zustimmen.

Mit freundlichen Grüßen

19.03.2012, 23:03

Math1986

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Zitat:

Original von Kasen75
wenn ich das richtig sehe, wurde hier ausmultipliziert. Und da würde ich deiner Vermutung zustimmen.

Welcher Vermutung?
Das was da oben steht ist absolut richtig, du musst den Term als ganzen betrachten.

EDIT 2: Es ist
$\begin{eqnarray*} f(\mu-z) = f(\mu+z) \end{eqnarray*}$
Insofern sind beide Lösungen richtig smile

21.03.2012, 13:47

charge

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Super, danke für die Hilfe Freude

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Symetrische Dichte, Beweis

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