Hüllenoperator, Topologie

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19.03.2012, 22:12	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Hüllenoperator, Topologie Meine Frage: Hallo, wenn $\begin{eqnarray} H\colon \mathcal{P}(X)\to\mathcal{P}(X) \end{eqnarray}$ Hüllenoperator ist, so ist ja $\begin{eqnarray} \varphi:=\left\{B\subseteq X~\|~H(X\setminus B)=X\setminus B\right\} \end{eqnarray}$ eine Topologie auf X. Behauptet wird, daß dann $\begin{eqnarray} H(M)^{\varphi}=\overline{M} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} M\subseteq X \end{eqnarray}$ . Dies soll man zeigen... Wie macht man das? Und was bedeutet diese Aussage? Meine Ideen: bisher leider keine
19.03.2012, 23:16	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst eine Mengengleichheit zeigen, also 2 Inklusionen. Auf der rechten seite steht der Schnitt aller in der Topologie abgeschlossenen die Menge M enthaltenden Mengen, und links die Anwendung des Hüllenoperators auf M.
19.03.2012, 23:24	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Zwei Mengeninklusionen. Okay. Also was mir klar ist, ist: $\begin{eqnarray} \overline{M}=\bigcap\left\{B\subseteq X~\|~\text{B abgeschlossen bzgl.}~\varphi, M\subseteq B\right\}=\bigcap\left\{B\subseteq X~\|~B=X\setminus O, O\in\varphi, M\subseteq B\right\} \end{eqnarray}$ Wenn ich jetzt bei der zu zeigenden Gleichung " $\begin{eqnarray} \supseteq \end{eqnarray}$ " zeigen will, würde ich also so anfangen: Sei $\begin{eqnarray} x\in \bigcap\left\{B\subseteq X~\|~B=X\setminus O, O\in\varphi, M\subseteq B\right\} \end{eqnarray}$ . Das Element x ist also in allen Mengen $\begin{eqnarray} B=X\setminus O, O\in\varphi, M\subseteq B \end{eqnarray}$ . Was ich noch erkenne, ist, daß $\begin{eqnarray} x\in B=X\setminus O=\overline{X\setminus O} \end{eqnarray}$ , aber wie daraus jetzt folgt, daß $\begin{eqnarray} x\in H(M)^{\varphi} \end{eqnarray}$ , ist mir unklar.
19.03.2012, 23:31	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde jetzt nicht anfangen Elemente aus den Mengen zu nehmen. Sondern beispielsweise für $\begin{eqnarray} H(M)\subset \overline M \end{eqnarray}$ Eine beliebige Menge $\begin{eqnarray} A\supset M \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} X\setminus A \in \varphi \end{eqnarray}$ und zeigen, dass $\begin{eqnarray} H(M)\subset A \end{eqnarray}$ gilt. Für die andere Inklusion einfach nachweisen, dass H(M) abgeschlossen ist.
19.03.2012, 23:41	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Anscheinend habe ich das Konzept noch nicht verstanden, denn mir ist gar nicht klar, wie überhaupt die beiden Mengen aussehen, für die man Gleichheit zeigen soll. Was ist denn $\begin{eqnarray} H(M)^{\varphi} \end{eqnarray}$ für eine Menge bzw. wie sieht sie aus?
19.03.2012, 23:48	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
Was das phi da soll, kann ich dir auch nicht verraten, aber sonst würde ich sagen, dass H(M) die Menge ist, die entsteht, wenn man den Hüllenoperator, der zu Definition der Topologie diente, auf die Menge M anwendet. Man stellt sich diesen Hüllenoperator in diesem Kontext ja als Abschluss und diese Aufgabe dient dazu, diese Vorstellung zu rechtfertigen. Für die Aufgabe brauchst du eben auch die Eigenschaften dieses Hüllenoperators.
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19.03.2012, 23:56	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Also so hundertprozentig klar ist es mir noch nicht, aber ich versuche es. Ich will zeigen: $\begin{eqnarray} H(M)\subseteq \overline{M} \end{eqnarray}$ Normal würde man doch jetzt bei so einer Mengeninklusion sagen: Sei $\begin{eqnarray} A\in H(M) \end{eqnarray}$ und dann versuchen zz., daß $\begin{eqnarray} A\in\overline{M} \end{eqnarray}$ . Aber ich weiß doch nichts über $\begin{eqnarray} H(M) \end{eqnarray}$ , also irgendwie scheine ich wohl total im Neben zu stehen... Edit: Achso, die Eigenschaften kenne ich. Expansivität usw. $\begin{eqnarray} M\subseteq H(M) \end{eqnarray}$ z.B.
20.03.2012, 00:01	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Trick ist: Sei I eine Indexmenge und für alle i aus I gelte $\begin{eqnarray} A\subset M_i\text{ dann ist auch }A\subset\bigcap_{i\in I} M_i \end{eqnarray}$ Noch ein Tipp, $\begin{eqnarray} X\setminus A\in\varphi \Leftrightarrow H(A)=A \end{eqnarray}$
20.03.2012, 00:08	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
All' das werde ich berücksichtigen, dankeschön. Nur eins ist mir immer noch nicht klar. (Liegt es an der späten Stunde?) $\begin{eqnarray} A\in H(M) \end{eqnarray}$ . Was heißt das? Was kann man als nächstes daraus folgern.. um dann irgendwann drauf zu kommen, daß $\begin{eqnarray} A\in\overline{M} \end{eqnarray}$ . Die unmittelbar erste Folgerung ist mir unklar.
20.03.2012, 00:15	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau deshalb wäre ich nicht auf Elemente zurück gegangen, weil man ( bzw ich jetzt auf Anhieb) nichts aus $\begin{eqnarray} x\in H(M) \end{eqnarray}$ folgern kann, was einem hier weiterhilft. Wie gesagt, H(M) ist nur ne Menge von der du ein paar dinge weisst, z.B. dass sie obermenge von M ist. Welche folgerung meinst du?
20.03.2012, 00:28	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Für den Moment danke ich Dir sehr, ich werde da jetzt erstmal drüber schlafen und morgen meine neuen Gedanken posten, ich glaube, ich habe es schon fast fertig. Danke!
20.03.2012, 01:06	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich schreib es doch noch vorm Schlafen auf, bevor ich die eine Idee wieder vergesse. $\begin{eqnarray} M\subseteq H(M) \end{eqnarray}$ (eine Eigenschaft des HO), da nun $\begin{eqnarray} M\subseteq A \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} A\in\overline{M} \end{eqnarray}$ folgt wegen der Monotonie des HO: $\begin{eqnarray} H(M)\subseteq H(A)=A \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} X\setminus A\in\varphi \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} H(X\setminus (X\setminus A))=H(A)=X\setminus (X\setminus A)=A \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} H(M)\subseteq\overline{M} \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} H(M)\subseteq \bigcap C \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} H(M)\subseteq C~\forall~C\in\overline{M} \end{eqnarray}$ . Die andere Richtung versuche ich morgen bzw. heute.

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