frage zu komplexen zahlen [aufg]

19.03.2012, 22:36

Kraim

frage zu komplexen zahlen [aufg]

Meine Frage:
Liebes Forum!

Ich bin gerade dabei mathe aufzuarbeiten und hänge aktuell bei den komplexen zahlen fest. es ist der letzte teil zu dem thema in unserem skript und recht knapp mit allgemeinen gleichungen gehalten.

die aufgabe lautet folgendermaßen:

geben sie alle komplexen lösungen der folgenden gleichung an:

1.) z^5 = 32i

2.) (z-1)^4 = -1

Vielen Dank im voraus!

Meine Ideen:
zu 1.)

Ich weiss dass es merere lösungen gibt(5?) und das ganze kann man sich - wenn ich mich recht erinnere - am einheitskreis veranschaulichen(weiß aber nicht mehr wie, schon länger her..).
ich habe mir die gleichung der polardarstellung $\begin{eqnarray*} a_{k} = \sqrt[n]{r} \cdot e^{i*\frac{\gamma+ 2\pi* K }{n} } \end{eqnarray*}$
n=5 ; k= 1,2,..(n-1)

zu hilfe genommen, aber ich habe weder einen winkel, noch kann ich irgendwie die länge daraus ablesen.

habe kurz den workshop überflogen aber habe nicht das richtige gefunden. kann mir jmd anschaulich erklären wie es funktioniert?

zu 2.)

selbes problem

19.03.2012, 23:06

Helferlein

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Du musst 32i in der Polardarstellung schreiben. Dazu benötigst Du den Betrag und den Winkel dieser Zahl in Relation zur x-Achse.

20.03.2012, 04:37

Kraim

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Zitat:

Du musst 32i in der Polardarstellung schreiben. Dazu benötigst Du den Betrag und den Winkel dieser Zahl in Relation zur x-Achse.

es tut mir leid, aber die antwort hilft mir leider nicht weiter, genau das habe ich schon ìn meinem ersten beitrag beschrieben und meine frage ist wie ich diese aufgabe zuende lösen kann.
oder habe ich etwas falsch verstanden?

20.03.2012, 13:11

Helferlein

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Dann frag ich einmal anders: Welchen Winkel schließt die Strecke, welche vom Nullpunkt auf die Zahl 32i in der komplexen Ebene zeigt, mit der x-Achse (reellen Achse) ein?
Wieviel Einheiten musst Du vom Nullpunkt aus gehen, um auf die Zahl 32i zu kommen?
Das erste ist der benötigte Winkel, das zweite der Betrag. Daraus erhältst Du die Polardarstellung $\begin{eqnarray*} |z|e^{i\phi} \end{eqnarray*}$

Oder weisst Du nicht, wie man die komplexen Zahlen in der Ebene darstellt?

20.03.2012, 19:07

Kraim

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Zitat:

Original von Helferlein
Dann frag ich einmal anders: Welchen Winkel schließt die Strecke, welche vom Nullpunkt auf die Zahl 32i in der komplexen Ebene zeigt, mit der x-Achse (reellen Achse) ein?
Original von Helferlein
Wieviel Einheiten musst Du vom Nullpunkt aus gehen, um auf die Zahl 32i zu kommen?
Das erste ist der benötigte Winkel, das zweite der Betrag. Daraus erhältst Du die Polardarstellung $\begin{eqnarray*} |z|e^{i\phi} \end{eqnarray*}$

also für 32i müsste man 32 einheiten auf der y-achse bzw. bildlich gesehen "nach oben" gehen.
also würde ich sagen der eingeschlossene winkel ist 90°, da 32i=0+32i ist und somit einen realteil von +0 hat. die gerade würde also genau auf der y-achse verlaufen .
der winkel wäre also $\begin{eqnarray*} \frac{\pi }{2} \end{eqnarray*}$ und der betrag 32?

also ist $\begin{eqnarray*} z= 32 \cdot e^{32i \cdot \frac{\pi }{2} } \end{eqnarray*}$ ?

kann mir schon denken dass das iwie falsch ist, leider .

puh ich habe gehofft, dass ich es nun schaffen kann, aber ich komme immer noch nicht weiter, habe mir jetzt stundenlang den kopf zerbrochen aber irgendwo ist der wurm drin.. man bekommt angeblich auch merere ergebnisse, aber ich habe keine ahnung wie das gehen soll. unglücklich

20.03.2012, 22:53

Helferlein

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Zitat:

der winkel wäre also $\begin{eqnarray*} \frac{\pi }{2} \end{eqnarray*}$ und der betrag 32?

Genau so ist es Freude

Zitat:

also ist $\begin{eqnarray*} z= 32 \cdot e^{32i \cdot \frac{\pi }{2} } \end{eqnarray*}$ ?

Wo nimmst Du die 32i im Exponenten her? Richtig ist $\begin{eqnarray*} z= 32 \cdot e^{i \cdot \frac{\pi }{2} } \end{eqnarray*}$

Nun bist Du fast am Ziel. Die Aufgabe lautet $\begin{eqnarray*} z^5=32 \cdot e^{i \cdot (\frac{\pi }{2}+2k\pi)} \end{eqnarray*}$
Dann ist $\begin{eqnarray*} z_k=? \end{eqnarray*}$

21.03.2012, 18:01

Kraim

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puh, wenigstens 1 erfolg! :-)

also da $\begin{eqnarray*} z^{5} \end{eqnarray*}$ gefragt ist, kann k die zahlen 0,1,2,3,4 annehmen oder?

dann wären die 5 gleichungen:

$\begin{eqnarray*} z_{0}^{5} = 32 \cdot e^{i \cdot (\frac{\pi }{2}) } z_{1}^{5} = 32 \cdot e^{i \cdot (\frac{\pi }{2} + 2 \cdot \pi ) } z_{2}^{5} = 32 \cdot e^{i \cdot (\frac{\pi }{2} + 4 \cdot \pi ) } z_{3}^{5} = 32 \cdot e^{i \cdot (\frac{\pi }{2} + 6 \cdot \pi ) } z_{4}^{5} = 32 \cdot e^{i \cdot (\frac{\pi }{2} + 8 \cdot \pi ) } allgemein: z_{k}^{5} = 32 \cdot e^{i \cdot (\frac{\pi }{2} + 2k\pi ) } \end{eqnarray*}$

dann hätte ich 5 exponentialfunktionen die eindeutig lösbar wären:

$\begin{eqnarray*} z_{0} \end{eqnarray*}$ ->winkel = $\begin{eqnarray*} 0.5 \pi \end{eqnarray*}$ = 90°
$\begin{eqnarray*} z_{1} \end{eqnarray*}$ ->winkel = $\begin{eqnarray*} 2.5 \pi \end{eqnarray*}$ = 90°
$\begin{eqnarray*} z_{2} \end{eqnarray*}$ ->winkel = $\begin{eqnarray*} 4.5 \pi \end{eqnarray*}$ = 90°
$\begin{eqnarray*} z_{3} \end{eqnarray*}$ ->winkel = $\begin{eqnarray*} 6.5 \pi \end{eqnarray*}$ = 90°
$\begin{eqnarray*} z_{4} \end{eqnarray*}$ ->winkel = $\begin{eqnarray*} 8.5 \pi \end{eqnarray*}$ = 90°

ist die aufgabe damit geschafft wenn ich zb. als ergebnis schreibe für z3:

$\begin{eqnarray*} z_{3}^{5} = 32 \cdot e^{i \cdot 3 \pi } \end{eqnarray*}$

muss ich dann daraus noch ne 5. wurzel ziehen, da ja z^5 gefragt ist? oder bedeutet das ^5 nur, dass 5 ergebnisse möglich sind?

21.03.2012, 18:18

Helferlein

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Es ist doch nach z und nicht $\begin{eqnarray*} z^5 \end{eqnarray*}$ gefragt. Ansonsten wäre die Aufgabe auch ziemlich witzlos.

Du musst also auf beiden Seiten hoch $\begin{eqnarray*} \frac 15 \end{eqnarray*}$ rechnen.

21.03.2012, 18:51

Kraim

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das bedeutet also im bezug auf das bsp z3:

$\begin{eqnarray*} z_{3} = 32 \cdot e^{i \cdot \frac{4.5\pi }{5}} \end{eqnarray*}$
bzw 4.5/5 = 0.9 pi wäre.

ich habe mich währenddessen schonmal mit der 2. aufgabe die ich erwähnt habe,beschäftigt und hänge vor folgendem problem:

aufgabe:

$\begin{eqnarray*} (z-1)^{4} = -1 \end{eqnarray*}$

meine erste überlegung war, den betrag und winkel herauszufinden:

nur realteil gegeben, d.h. |z| = 1 und der winkel somit 0°, da der vektor direkt auf der real-achse liegt..?

nun dachte ich, kann ich einfach die gleichung von vorhin nehmen:

$\begin{eqnarray*} (z-1)^{4} = |z| \cdot e^{i \cdot( 0\cdot\pi + 2\cdot k \cdot \pi) } \end{eqnarray*}$

wieder für das beispiel z3 wäre das:

$\begin{eqnarray*} z_{3} = 1 \cdot e^{i \cdot(\frac {0\cdot\pi + 2\cdot 3 \cdot \pi)}{4} } +1 z_{3} = e^{i \cdot( 1.5 \cdot \pi) } +1 \end{eqnarray*}$

hoffe das ist soweit richtig! :-)

21.03.2012, 20:04

Helferlein

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Dein $\begin{eqnarray*} z_3 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} z_2 \end{eqnarray*}$ , ansonsten stimmt es.

Bzgl. der zweiten ist der Winkel nicht 0°, denn -1 ist negativ, nicht positiv.
Das ergibt einen anderen Winkel.

21.03.2012, 21:29

Kraim

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achja, stimmt, flüchtigkeitsfehler ;-) also[ 6.5 pi / 5 ]

und zu dem winkel, ja du hast recht, ich hatte den betrag bestimmt und diesen dann fälschlicherweise als bezugsgrade für den winkel benutzt.

also -1 auf der real-achse wären es 180°

Ich bedanke mich ganz herzlich für deine Mühe, ich habe es nun verstanden! :-) ich weiss nicht , was ich ohne dich gemacht hätte!

Mit freundlichem Gruß,

Kraim

21.03.2012, 22:04

Helferlein

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Gerne wieder Augenzwinkern

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