Potenzreihe z^n!

20.03.2012, 00:16

MarOl1992

Potenzreihe z^n!

Meine Frage:
Hallo an alle Helfer,

gegeben ist folgende Potenzreihe:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty z^{n!} \end{eqnarray*}$

Gesucht ist der Konvergenzradius.

Meine Ideen:
Also der Konvergenzradius berechnet sich ja allgemein aus:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\limsup_{n \to \infty } \sqrt[n]{|a_{n} |} } \end{eqnarray*}$

Die erste Idee war, die Fakultät zu ignorieren und $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ einfach als 1 anzusehen, da kein Faktor davorsteht.
Dann wäre limsup ja ebenfalls 1 und somit auch der Konvergenzradius.
1. Frage: Wäre das so überhaupt erlaubt die Fakultät zu ignorieren als Exponent?

Danach habe ich mir die Musterlösung angesehen und dort stand folgendes:

" $\begin{eqnarray*} a_{1} = 1, a_{2} = 1, a_{6} = 1, a_{24} = 1, ... \end{eqnarray*}$

Alle anderen Koeffizienten sind 0."

Ich hab überhaupt keine Idee, was damit gemeint ist?! Hoffe ihr habt ein paar Tipps für mich smile

LG
Marcel

PS: Der Link zur Musterlösung -> http://www.mathematik.uni-dortmund.de/~l...sterloesung.pdf (Aufgabe 2,b)

20.03.2012, 00:28

galoisseinbruder

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Schreib doch mal die ersten paar Summanden der Reihe hin.
Dann sollte auch der Erklärungssatz der Musterlösung klar sein.
(wobei meines Erachtens $\begin{eqnarray*} a_1=2 \end{eqnarray*}$ da 0!=1, aber das ändert nichts an der Aufgabe.)

20.03.2012, 00:38

MarOl1992

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Wenn ich die ersten Summanden aufschreibe bekomme ich z^1 + z^1 + z^2 + z^6 + z^24 ...

Das sieht natürlich nach den Werten im Tipp aus, aber wieso sind dort z.b. a24 = 1?

Sind nicht a3,a4,a5,a7,a8, ... auch =1 ?! weil es steht ja keine Folge an vor dem z^(n!) ?

20.03.2012, 00:43

galoisseinbruder

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Wäre z.B. $\begin{eqnarray*} a_3=1 \end{eqnarray*}$ so begänne die Reihe so:
$\begin{eqnarray*} 2z+z^2+z^3+ \ldots \end{eqnarray*}$ .
Wenn die Potenz nicht auftaucht ist der Koeffizient 0.
Dir ist bewusst das $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty z^{n!} =\sum\limits_{n=0}^\infty a_n z^n \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

weil es steht ja keine Folge an vor dem z^(n!) ?

Keine Ahnung was das aussagen soll.

20.03.2012, 00:52

MarOl1992

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Okay versteh' ich soweit.

Also allgemein nochmal ob ichs richtig verstanden hab:

Wenn ich ne Potenzreihe hab die ich nicht verstehe, erstmal die ersten Reihenglieder aufschreiben und für Potenzen die nicht existieren, ist auch der Koeffizient 0?

Und mit dem, was ich durch die Betrachtung der ersten Reihenglieder herausfinde, kann bzw darf ich schon auf den Konvergenzradius schließen? Oder müsste ich das formal anders aufschreiben??

LG

20.03.2012, 01:18

galoisseinbruder

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Zitat:

für Potenzen die nicht existieren, ist auch der Koeffizient 0

Ich würde in dem Satz das "auch" streichen.

Zitat:

Und mit dem, was ich durch die Betrachtung der ersten Reihenglieder herausfinde, kann bzw darf ich schon auf den Konvergenzradius schließen?

Hier ein großes "Darth-Vader-in-der-neusten-verhunzten-Version"-Nein.
Die ersten Glieder haben überhaupt keinen Einfluß auf den Konvergenzradius.
Das hinschreiben hier diente der Veranschaulichung wie die Reihe aussieht.
Das wesentliche hier ist das $\begin{eqnarray*} a_n\in \{0,1\} \end{eqnarray*}$ und die 1 unendlich oft angenommen wird, weshalbt der größte Häufungspunkt von $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{|a_n|} \end{eqnarray*}$ die 1 ist.

20.03.2012, 01:23

MarOl1992

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Zitat:

"Darth-Vader-in-der-neusten-verhunzten-Version"

Zitat:

Keine Ahnung was das aussagen soll.

Wieso ist in meinem Satz das "auch" so wichtig, dass es weg muss?

Und das mit der 1 hab ich nun verstanden smile

20.03.2012, 01:34

galoisseinbruder

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Weil zu viel Pop-kultur mitten in der Nacht.

Der Koeffizient ist 0 da die Potenzen nicht da stehen und die potenzen stehen nicht da, weil der koeffizient 0 ist. Das mag jetzt etwas semantisches rungeheule sein, aber das "auch" klingt nach $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ wohingegn hier ein $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ deutlich angebrachter wäre.

20.03.2012, 02:06

SusiQuad

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Offtopic:

Bei $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty}\; z^{n!} \end{eqnarray*}$

gehe ich mit $\begin{eqnarray*} b_n := z^{n!} \end{eqnarray*}$ den vielen Nullen aus dem Weg.

Und $\begin{eqnarray*} \left| \frac{b_{n+1}}{b_n} \right| = \frac{|z|^{(n+1)!}}{|z|^{n!}} = \left(\frac{|z|^{(n+1)}}{|z|} \right)^{n!} = |z|^{n\cdot n!} \leq 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \iff |z| \leq 1 \end{eqnarray*}$

... liefert mir den Konv.Radius.

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