Produkttopologie/ Identität zeigen

20.03.2012, 15:05

Gast11022013

Produkttopologie/ Identität zeigen

Meine Frage:
Seien $\begin{eqnarray*} (X,\tau), (Y,\theta) \end{eqnarray*}$ zwei topologische Räume, $\begin{eqnarray*} A\subseteq X, B\subseteq Y \end{eqnarray*}$ .

Man zeige, daß

$\begin{eqnarray*} (A\times B)^{\circ}=A^{\circ}\times B^{\circ} \end{eqnarray*}$

gilt.

Meine Ideen:
Moin, moin, ich bin mir unsicher, ob ich richtig vorgehe, daher poste ich mal meine bisherigen Ideen:

$\begin{eqnarray*} (A\times B)^{\circ}=\bigcup_{A\times B\supseteq O\in\mathcal{O}_{X\times Y}}O \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} O\in\mathcal{O}_{X\times Y} \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} O=\bigcup_{i\in I}\bigcap_{k\in K}p_k^{-1}(O_k) \end{eqnarray*}$ , wobei K endliche Teilmenge von I ist, $\begin{eqnarray*} p_1\colon X\times Y\to X, p_2\colon X\times Y\to Y \end{eqnarray*}$ die Projektionen sind und $\begin{eqnarray*} O_k\in\tau \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} O_k\in\theta \end{eqnarray*}$ .

Also wohl

$\begin{eqnarray*} (A\times B)^{\circ}=\bigcup_{A\times B\supseteq O\in\mathcal{O}_{X\times Y}}O=\bigcup_{A\times B\supseteq O\in\mathcal{O}_{X\times Y}}\left(\bigcup_{i\in I}\bigcap_{k\in K}p_k^{-1}(O_k)\right) \end{eqnarray*}$

Ist das so korrekt?

Wenn ja, würde ich jetzt so weitermachen:

Es ist etwa $\begin{eqnarray*} I=K=\left\{1,2\right\} \end{eqnarray*}$ .

Nun sei $\begin{eqnarray*} W\in (A\times B)^{\circ} \end{eqnarray*}$ .

Dann gibt es nach obigen Überlegungen ein

$\begin{eqnarray*} O=\bigcup_{i\in I}\bigcap_{k\in K}p_k^{-1}(O_k) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} W\subseteq O \end{eqnarray*}$ .

Dann gibt es $\begin{eqnarray*} H:=\bigcap_{k\in K}p_k^{-1}(O_k) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} W\subseteq H \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} W\subseteq p_k^{-1}(O_k) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k=1,2 \end{eqnarray*}$ .

Das hieße $\begin{eqnarray*} W\subseteq\left\{x\in X\times Y~|~p_k(x)\in O_k\right\} \end{eqnarray*}$ .

An dieser Stelle stecke ich jetzt fest und komme nicht so recht weiter, darum wäre Hilfe toll.

20.03.2012, 16:33

Ungewiss

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Das ist viel zu kompliziert meines Erachtens. Du weisst die Produkte offener Mengen bilden im Fall endlich vieler Faktoren eine Basis der Produkttopologie

Also ist insbesondere $\begin{eqnarray*} A^\circ\times B^\circ \end{eqnarray*}$ offen in der Produkttopologie und Teilmenge von $\begin{eqnarray*} A\times B \end{eqnarray*}$ , d.h...?

Wenn andererseits O offen in der Produkttopologie mit $\begin{eqnarray*} O=\bigcup_{i\in I} V_i\times W_i \subset A\times B \end{eqnarray*}$
dann ist $\begin{eqnarray*} \bigcup_{i\in I} V_i\subset A\Rightarrow \bigcup_{i\in I} V_i\subset A^\circ \end{eqnarray*}$ und ....

20.03.2012, 17:26

Gast11022013

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Zitat:

Original von Ungewiss
Das ist viel zu kompliziert meines Erachtens. Du weisst die Produkte offener Mengen bilden im Fall endlich vieler Faktoren eine Basis der Produkttopologie

Das wusste ich bis jetzt gar nicht. geschockt

Ich habe daraufhin nochmal das Buch gewälzt.

Ist das diese Aussage:

Zitat:

B.v. Querenburg, "Mengentheoretische Topologie"
[...] Eine Teilmenge $\begin{eqnarray*} A\subseteq\prod_{i\in I}X_i \end{eqnarray*}$ gehört genau dann zu $\begin{eqnarray*} \mathcal{B} \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} A=\prod_{i\in I}O_i \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} O_i \end{eqnarray*}$ offen in $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} O_i=X_i \end{eqnarray*}$ für fast alle $\begin{eqnarray*} i\in I \end{eqnarray*}$ .

Anmerkung: Mit $\begin{eqnarray*} \mathcal{B} \end{eqnarray*}$ ist hier gemeint:

$\begin{eqnarray*} \mathcal{B}=\left\{\bigcap_{k\in K}p_k^{-1}(O_k)~|~O_k~\text{offen in}~X_k, \text{K endliche Teilmenge von I}\right\} \end{eqnarray*}$

Edit: Ich kann mir meine Frage mit diesem Link

http://de.wikibooks.org/wiki/Mathematik:...gisches_Produkt

selbst beantworten: Nein, das was Du meintest, ist etwas Anderes. Das, was ich zitiert habe, bezieht sich auf die Basis, die man erhält, wenn man endliche viele Schnitte aus der Subbasis, bestehend aus den Urbildern offener Mengen in den Einzelräumen, bildet.

Was Du meintest und was mir total unbekannt war (ich bin ein bisschen schockiert, daß der Boto das nicht enthält...), ist, daß man tatsächlich im Falle von endlich vielen Faktoren eine Basis erhält, wenn man alle Produkte von Mengen bildet, die in den Einzelräumen offen sind (und diese Basis bildet sogar die gleiche Topologie, wie die obige Basis...).

20.03.2012, 17:52

Ungewiss

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Das aus Boto stimmt schon: es ist immer O_i=X_i für fast alle i aus I, wenn I endlich ist. Für fast alle bedeutet ja, bis auf endlich viele Ausnahmen und bei endlich vielen Faktoren kann nur endlich viele Ausnahmen geben.

Zb bei diesem Eintrag aus wikipedia kann man F=I wählen.

20.03.2012, 18:11

Gast11022013

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Oh, stimmt. Dann will ich nichts gesagt haben und entschuldige mich beim Herrn Boto, den es gar nicht gibt. Dann hat "er" ja doch alles gesagt und ich war nur zu blöd, es zu verstehen.

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Also: Die Produkte aller in den Einzelräumen offenen Mengen bilden eine Basis der Produkttopologie.

$\begin{eqnarray*} A^{\circ} \end{eqnarray*}$ ist die größte offene Menge, die in A enthalten ist, also insbesondere eine offene Menge in X und $\begin{eqnarray*} B^{\circ} \end{eqnarray*}$ ist die größte offene Menge, die in B enthalten ist, also insbesondere eine offene Menge in Y. Dann ist $\begin{eqnarray*} A^{\circ}\times B^{\circ} \end{eqnarray*}$ also in der Basis der Produkttopologie auf $\begin{eqnarray*} X\times Y \end{eqnarray*}$ , also insbesondere offen.

Und $\begin{eqnarray*} A^{\circ}\times B^{\circ}\subseteq A\times B \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} A^{\circ}\subseteq A, B^{\circ}\subseteq B \end{eqnarray*}$ ?

Jedenfalls folgt dann daraus, daß (1) $\begin{eqnarray*} A^{\circ}\times B^{\circ} \end{eqnarray*}$ offen in der Produkttopologie sind und (2) $\begin{eqnarray*} A^{\circ}\times B^{\circ}\subseteq A\times B \end{eqnarray*}$ , daß

$\begin{eqnarray*} (A\times B)^{\circ}=\bigcup_{A\times B\supseteq O\in\mathcal{O}_{X\times Y}}O\ni A^{\circ}\times B^{\circ} \end{eqnarray*}$

20.03.2012, 18:20

Ungewiss

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Das stimmt. Und für die andere Richtung hab ich mir gedacht dass man darüber geht, dass wenn eine Menge Teilmenge jeder Menge aus einer Mengenfamilir ist, dann ist sie auch Teilmenge der Vereinigung dieser Familie.

Nen dreher drin, dass wenn alle Mengen aus einer Familie Teilmenge einer Menge sind, dann auch deren Vereinigung

20.03.2012, 19:14

Gast11022013

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Diese Beweisrichtung ist mir noch nicht klar geworden.

Sei $\begin{eqnarray*} W\in (A\times B)^{\circ}=\bigcup_{A\times B\supseteq O\in\mathcal{O}_{X\times Y}}O \end{eqnarray*}$ .

Dann gibt's ein $\begin{eqnarray*} O\subseteq A\times B, O=\bigcup_{i\in I}(V_i\times Z_i) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} V_i \end{eqnarray*}$ offen in X, $\begin{eqnarray*} Z_i \end{eqnarray*}$ offen in Y

und $\begin{eqnarray*} W\subseteq O \end{eqnarray*}$ .

Und dann?

Edit:

Vielleicht so:

$\begin{eqnarray*} W\subseteq O=\bigcup_{i\in I}(V_i\times Z_i)=\bigcup_{i\in I}V_i\times \bigcup_{i\in I}Z_i\subseteq A\times B \end{eqnarray*}$

Deswegen $\begin{eqnarray*} \bigcup_{i\in I}V_i\subseteq A^{\circ}, \bigcup_{i\in I}Z_i\subseteq B^{\circ} \end{eqnarray*}$ und daher $\begin{eqnarray*} \bigcup_{i\in I}V_i\times\bigcup_{i\in I}Z_i\subseteq A^{\circ}\times B^{\circ} \end{eqnarray*}$ .

Also $\begin{eqnarray*} W\subseteq A^{\circ}\times B^{\circ} \end{eqnarray*}$

20.03.2012, 20:39

Gast11022013

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Unsicher bin ich mir bei

$\begin{eqnarray*} \bigcup_{i\in I}(V_i\times Z_i)=\bigcup_{i\in I}V_i\times \bigcup_{i\in I}Z_i\subseteq A\times B \end{eqnarray*}$

20.03.2012, 21:10

Ungewiss

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Deine erste Gleichheit stimmt auch nicht. Siehst du schon an $\begin{eqnarray*} V_1=\{0\},\ V_2=\{1\},\ W_1=\{1\},\ W_2=\{0\} \end{eqnarray*}$ . Alleine schon daran, dass die linke Menge 2 Elemente und die rechte 4 enthält.

Meine Behauptung mit den Teilmengen in dem Produkt gilt nur, wenn alle am Produkt beteiligten Mengen nicht leer sind, das ist aber keine wirkliche Einschränkung, weil dann auch das Produkt leer ist und weggelassen werden kann. Also zeige

Falls $\begin{eqnarray*} V_i,\ W_i \neq\emptyset \forall i\in I\ \text{und } \bigcup_{i\in I} V_i\times W_i\subset A\times B \end{eqnarray*}$
Dann ist auch
$\begin{eqnarray*} \bigcup_{i \in I}V_i\subset A \end{eqnarray*}$

20.03.2012, 21:20

Gast11022013

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Ist $\begin{eqnarray*} x\in\bigcup_{i\in I}V_i \end{eqnarray*}$ gibts mindestens ein $\begin{eqnarray*} V_i: x\in V_i \end{eqnarray*}$ .

Dann ist $\begin{eqnarray*} V_i\times W_i\subseteq \bigcup_{i\in I}V_i\times W_i\subseteq A\times B \end{eqnarray*}$

und somit $\begin{eqnarray*} V_i\subseteq A \end{eqnarray*}$

Was folgt aber daraus?

20.03.2012, 21:27

Ungewiss

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Dann ist also $\begin{eqnarray*} V_i\subset A^\circ \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W_i\subset B^\circ \end{eqnarray*}$ für alle i
Daraus folgt

$\begin{eqnarray*} V_i \times W_i\subset A^\circ \times B^\circ \end{eqnarray*}$ für alle i

Daraus folgt
$\begin{eqnarray*} O=\bigcup_{i \in I}V_i \times W_i\subset A^\circ \times B^\circ \end{eqnarray*}$

20.03.2012, 21:41

Gast11022013

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Achsoo, das meintest Du mit:

Wenn alle $\begin{eqnarray*} V_i\times W_i\subseteq A^{\circ}\times B^{\circ} \end{eqnarray*}$ , dann auch

die Vereinigung der $\begin{eqnarray*} V_i\times W_i \end{eqnarray*}$

21.03.2012, 11:27

Gast11022013

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Achso, was ich fast vergessen hätte:

Dankeschön für Deine Hilfe!

21.03.2012, 13:09

Ungewiss

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