Ordnungsrelation (keine Totalordnung)

20.03.2012, 15:42	wundi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ordnungsrelation (keine Totalordnung) Sei X = (1; 2; 3; 4; 6; 12) und die Relation $\begin{eqnarray} R\subseteq XxX \end{eqnarray}$ gegeben durch xRy genau dann, wenn x\|y. Zeigen Sie, dass R eine Ordnungsrelation, aber keine Totalordnung ist. Zeichnen Sie das dazugehörige Hasse-Diagramm. Lösungsversuch: R={ (1,1,),(2,2),(3,3),(4,4),(6,6),(12,12),(1,2),(1,3),(1,4),(1,6),(1,12),(2,4) ,(2,6),(2,12),(3,6),(3,12),(4,12),(6,12)} refelxiv : xRx <-> 1R1 richtig antisym.: xRy $\begin{eqnarray} \wedge \end{eqnarray}$ yRx -> x=y <-> 1R1 $\begin{eqnarray} \wedge \end{eqnarray}$ 1R1 -> 1=1 richtig transitiv: xRy $\begin{eqnarray} \wedge \end{eqnarray}$ yRz -> xRz <-> 1R2 $\begin{eqnarray} \wedge \end{eqnarray}$ 2R3 -> 1R3 richtig Totalordnung: xRy $\begin{eqnarray} \vee \end{eqnarray}$ yRx -> 1 $\begin{eqnarray} \neq \end{eqnarray}$ 2 falsch 12 / \ 4 6 \| / \| 2 3 \ / 1
20.03.2012, 20:15	blubbel	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Hasse-Diagramm sieht richtig aus und R ist (falls ich mich nicht verschaut habe) auch vollständig. Für deine Beweise der drei Eigenschaften: Beispiele reichen nicht aus, du musst z.B. für die Reflexivität zeigen, dass für alle x in X gilt: xRx. Ebenso für Antisymmetrie und Transitivität. Dabei kannst du in diesem Fall alle Möglichkeiten durchgehen, oder argumentieren (z.B. teilt jede Zahl sich selbst, daher reflexiv). Dass die Ordnung nicht total ist, kannst du durch ein Gegenbeispiel zeigen. Dein Gegenbeispiel verstehe ich aber nicht :/
20.03.2012, 20:50	wundi	Auf diesen Beitrag antworten »
kann ich also sagen, es gibt keine Totalordnung da 3 nicht in Relation zu 4 steht und umgekehrt? bzw. wie schreib ich das richtig an? danke
22.03.2012, 17:35	blubbel	Auf diesen Beitrag antworten »
Jep, Bedingung für Totalordnung: $\begin{eqnarray} \forall a,b\in X: aRb\vee bRa \end{eqnarray}$ Insbesondere muss also entweder 3R4 (also 3\|4), oder 4R3 (also 4\|3) gelten, was beides nicht stimmt. Daher ist R keine Totalordnung.

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