schriftlich Extremstelle berechnen

20.03.2012, 18:10	Lk-Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
schriftlich Extremstelle berechnen Meine Frage: Hallo Leute, ich muss die Nullstellen eines Graphen mit dem Newton-Verfahren ermitteln. Ich weiß, dass meine Funktion zwei Nullstellen hat und wollte erst einmal die Extremstelle ermitteln, damit ich den Startwert günstig festlegen kann (da die Tangente ja zwischendurch auch mal waagerecht wird und sich somit wieder von der Nullstelle entfernt) Ich wollte die Extremstelle mal ohne Rechner, sondern schriftlich berechnen und komme irgendwie nicht so wirklich weiter. $\begin{eqnarray} f(x)= e^{x-3}-ln(x)-1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(x)= e^{x-3} -\frac{1}{x} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: $\begin{eqnarray} e^{x-3} -\frac{1}{x}=0 \Rightarrow +\frac{1}{x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e^{x-3} =\frac{1}{x} \Rightarrow x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e^{x-3}x = 1 \Rightarrow ln \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (x-3) ln(e) * ln(x) = ln(1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (x-3)ln(x)=0 \end{eqnarray}$ Ich bin erst einmal bis hier hin angekommen und kam dann nicht mehr weiter, aber das kommt mir irgendwie nicht ganz richtig vor..
20.03.2012, 18:37	Mathewolf	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei der Umformung zu $\begin{eqnarray} (x-3) ln(e) * ln(x) = ln(1) \end{eqnarray}$ ist dir schon ein grober Fehler unterlaufen, denn $\begin{eqnarray} \ln(a\cdot b)\not=\ln a\cdot\ln b \end{eqnarray*}$
20.03.2012, 18:42	Lk-Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
also heißt es $\begin{eqnarray} (x-3)ln(ex) = 0 \end{eqnarray}$ Aber jetzt komme ich trotzdem nicht weiter..
20.03.2012, 18:47	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: schriftlich Extremstelle berechnen Zunächst mal darfst du den ln nicht "faktorweise" anwenden, bei $\begin{eqnarray} xe^{x-3}=1 \end{eqnarray}$ ergibt sich allenfalls $\begin{eqnarray} \ln (xe^{x-3})=0 \end{eqnarray}$ Also: $\begin{eqnarray} \ln (x ) \color{red}+\color{black} (x-3)=0 \end{eqnarray}$ Und damit kommst du wieder nicht weiter. Tatsächlich kannst du diese Gleichung nicht nach x auflösen, du drehst dich immer in diesem Kreis weiter, da kannst du dich auf den Kopf stellen. Eine Möglicheit liefert allenfalls die Lambertsche W-Funktion. Damit erhält man: $\begin{eqnarray} xe^{x-3}=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow xe^x = e^3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow x = W (e^3) \end{eqnarray}$ Aber da geht's dann auch wieder mit Nähern weiter. Oder irgendwo eingeben und ausrechnen lassen... Edit: Oha, etwas spät...
20.03.2012, 18:49	Lk-Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: schriftlich Extremstelle berechnen Okay, da wir das so noch nicht hatten, werde ich dieses Mal einfach auf's schriftliche Ausrechnen verzichten müssen ^^ Wollte ich sowieso freiwillig machen, aber dann nehme ich lieber den Rechner.. Danke trotzdem

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