K-Isomorphism - Körpertheorie

20.03.2012, 21:18	Grouser	Auf diesen Beitrag antworten »
K-Isomorphism - Körpertheorie Ich lese aktuell Algebraic Theory of Numbers von Prof. Samuel (ins Englische übersetzt). Im Kapitel 2.4 irre ich mich nun entweder oder sehe einen Fehler in dem Buch. Es geht um folgendes Theorem: Sei K ein Körper der Charakteristik 0 oder endlich, sei K' eine Erweiterung endlichen Grades n von K und sei C ein algebraischer Abschluss von K. Dann existieren n verschiedene K-Isomorphismen von K' nach C. Abgesehen davon, dass mir der erste Satz des Beweises bereits nicht einleuchtet, ist mir absolut nicht klar warum es überhaupt einen beliebigen Isomorphismus von K' nach C geben soll. Das bedeutete ja beispielsweise für den Fall n=1, dass ein Isomorphismus von $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ in seinen algebraischen Abschluss existiert, der aber abzählbar viele Elemente besitzt. Für den Fall, dass meine Übersetzung ins Deutsche missfällt, hier noch einmal der O-Ton: "Let K be a field of characteristic zero or a finite field, let K' be an extansion pf finite degree n of K, and let C be an algebraically closed field containing K. Then there exist n distinct K-isomporphisms of K' into C." Natürlich erinnert mich dieser Satz stark an den folgenden, mir bekannten: $\begin{eqnarray} \text{Ist } K\|k \text{ endlich, so sind äquivalent:} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{i. } K\|k \text{ ist seperabel} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{ii. Jede Einbettung } k \hookrightarrow L \text{ in einen algebraisch abgeschlossenen Körper } L \text{ besitzt genau } [K:k] \text{ viele Erweiterungen } K \hookrightarrow L \end{eqnarray}$ , insbesondere, weil eine endliche Erweiterung endlicher Körper respektive Körper der Charakteristik 0 stets seperabel ist.
20.03.2012, 21:28	galoisseinbruder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: K-Isomorphism - Körpertheorie Die Aussage ergibt deutlich mehr Sinn mit K-Homomorphismus statt Iso. Du hast ja bereits ein Gegenbsp. zu Iso angegeben.
20.03.2012, 22:09	Grouser	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, mit Homomorphismen sehe ich sowohl das als auch den Beweis ein. Allerdings wird bereits im darauffolgenden Beweis auf diesen Satz Stellung bezogen und ein K-Isomorphismus gefordert... Natürlich ist nicht auszuschließen, dass es zwei Tippfehler/Übersetzungsfehler sind. Ich sehe mir morgen einmal an, ob die Argumente mit Homomorphismen durchgehen. Falls jemand sonst noch Gedanken dazu hat, bin ich für jeden Hinweis empfänglich. Danke schonmal.

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