Norm auf stetigen Funktion

21.03.2012, 07:17

IfindU

Norm auf stetigen Funktion

Hallo zusammen,

ich schreibe gerade an meiner Bachelorarbeit - werde also wohl wieder häufiger etwas fragen. Es geht um Strichartz Estimates, eine Abschätzung, die man für die Schrödingergleichung braucht.

Im Beweis steht (etwas verkürzt):

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} \Psi_f(s) = \int_s^T \mathfrak{T}(s-t)f(t)dt \quad \forall s \in [0,T). \end{eqnarray*}$
It is clear that $\begin{eqnarray*} \Psi \end{eqnarray*}$ is continous $\begin{eqnarray*} L^1_{\text{loc}}([0,T), H^{-1}) \to C([0,T), H^{-1}) \end{eqnarray*}$

Dabei ist $\begin{eqnarray*} T>0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \mathfrak{T} \end{eqnarray*}$ ist die Halbgruppe erzeugt von $\begin{eqnarray*} i \cdot \Delta \end{eqnarray*}$ , dem Laplaceoperator und $\begin{eqnarray*} C([0,T), H^{-1}) \end{eqnarray*}$ der Raum der stetigen Funktionen von $\begin{eqnarray*} [0,T) \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} H^{-1} \end{eqnarray*}$ , dem Dualraum von $\begin{eqnarray*} H^{1, 2}_0 \end{eqnarray*}$ .

Mein Problem ist nun, dass ich nicht weiß welche Norm (bzw. allgemeiner Topologie) auf dem Raum der stetigen Funktionen nach H^{-1} gemeint ist.
Die einzige Idee die ich hatte wäre die Supremumsnorm gewesen, d.h. Für $\begin{eqnarray*} f \in C \end{eqnarray*}$ sei $\begin{eqnarray*} \|f\|_C := \sup_{x \in [0,T)} \|f(x)\|_{H^{-1}} \end{eqnarray*}$
Das Problem damit ist wäre, dass es auf $\begin{eqnarray*} C([0,T), \mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ keine Norm definiert. Verstehe ich hier grundsätzlich etwas falsch, oder liefert H^{-1} Eigenschaften, die die stetigen Funktionen in den Raum beschränken.

Bin für Hilfe dankbar.

21.03.2012, 10:59

sergej88

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Hallo,

auf dem ersten Blick würde ich jetzt dir raten
$\begin{eqnarray*} \Psi_f(T) = 0 \end{eqnarray*}$

zu setzen. Dann bist du in $\begin{eqnarray*} C([0,T], H^{-1}) \end{eqnarray*}$ und dort definiert dein Ausdruck ja eine Norm.
Du müsstest dann jetzt der Frage nachgehen ob diese Definition mit $\begin{eqnarray*} s \to T \end{eqnarray*}$ konform bleibt.

mfg

21.03.2012, 12:42

gonnabphd

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Alternativ könntest du auch einfach die "abgeschnittene sup-Metrik"

$\begin{eqnarray*} \rho(f,g) := \min(\Vert f - g\Vert_\infty, 1) \end{eqnarray*}$

nehmen. Die von $\begin{eqnarray*} \rho \end{eqnarray*}$ induzierte Topologie ist die Standard-(uniforme-)Topologie. Insbesondere ist es die gleiche, welche von der sup-Norm auf den beschränkten stetigen Funktionen induziert wird.

smile

21.03.2012, 14:54

IfindU

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Danke für die Antworten, werde wohl länger für Antworten brauchen, die vielen Funktionen irritieren mich.

Ich habe versucht zu zeigen, dass es gegen 0 konvergiert
Dann sei $\begin{eqnarray*} (T_k)_k \subset \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} T_k \to T \end{eqnarray*}$ ist dann $\begin{eqnarray*} \| \Psi_f(T_k) \|_{H^{-1}} \stackrel{(i)}{\leq} \int_{T_k}^T \|\mathfrak{T}(T_k - t)f(t) \|_{H^{-1}} dt = \int_{T_k}^T \sup_{h \in H^1_0, \|h\| = 1} |(\mathfrak{T}(T_k - t)f(t))(h) | dt \end{eqnarray*}$

Wenn ich das Supremum gleichmäßig in k beschränken könnte, würde es nach dem Satz von Lebesgue folgen.

Allerdings werd ich das Gefühl nicht los, dass ich mir das Leben ziemlich schwer mache, da das Buch von "it is clear" spricht.

Noch eine Frage: Gilt der Schritt (i) für alle Normen? Mein Gedanke dahinter war, dass das Integral über die Summe von Treppenfunktionen definiert ist, und die Aussage dann die Dreieckunsgleichung der Norm ist.

@gonnabphd (deinen Namen habe ich übrigens erst jetzt verstanden)
Danke für den interessanten Ausweg - allerdings hätte ich lieber eine Norm, damit ich die Stetigkeit des Operators über Beschränktheit zeigen kann - wenn ich die Urbilder offener Mengen untersuchen muss werd ich verrückt bei Wink

21.03.2012, 16:46

sergej88

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Wenn ich davon ausgehe, dass deine Halbgruppe / Gruppe die Form

$\begin{eqnarray*} e^{it\Delta}: H^{-1} \longrightarrow H^{-1}, \ \ t \geq 0 \end{eqnarray*}$

besitzt und stark stetig ist,
dann hast du ja die Abschätzung

$\begin{eqnarray*} \Vert (e^{it\Delta}f)(s) \Vert_{H^{-1}} \leq Me^{\omega t}\Vert f(s) \Vert_{H^{-1}} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} f \in L_{loc}^{1}([0,T), H^{-1}), \ \ M \geq 0, \ \ \omega \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s \in [0,T) \end{eqnarray*}$ fast überall.

Diese könntest du dann in deiner Abschätzung verwenden. Mit derselben Abschätzung sollte auch die Stetigkeit gehen, sofern ich zumindest nichts übersehen habe.

mfg

21.03.2012, 17:36

IfindU

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Man findet Sachen immer einfacher, wenn man weiß wonach man suchen muss:

Zitat:

Let us denote by $\begin{eqnarray*} (\mathfrak(T)(t))_{t \in \mathbb{R}} \end{eqnarray*}$ the group of isometries generated by $\begin{eqnarray*} i\Delta \end{eqnarray*}$ in any of the spaces $\begin{eqnarray*} D(\Delta), H^1_0, L^2, H^{-1}, (D(\Delta))^*. \end{eqnarray*}$

D.h. es ist genauso wie du gesagt hast. Wobei die Abschätzung ja erst einmal nur für $\begin{eqnarray*} t \geq 0 \end{eqnarray*}$ gilt, und ich über $\begin{eqnarray*} t\leq 0 \end{eqnarray*}$ integriere. Laut Buch ist aber $\begin{eqnarray*} \mathfrak{T}(-t) = \mathfrak{T}(t)^* \end{eqnarray*}$ , und damit sollte dann die Ungleichung für meinen Fall gelten.

Dann kann man den Integranden nach oben abschätzen, und dann kann man über ganz R den Ausdruck mal die entsprechende char. Funktion integrieren - und da das durch eine Konstante mal f integrierbar nach oben beschränkt wird, liefert der Lebesgue, dass das Integral 0 wird, damit die Norm, damit die Funktion.

Um die Stetigkeit, die ich zeigen wollte kümmer ich mich wenn ich zurück bin - muss leider los.
Aber schon einmal großes Dankeschön!

Edit: Weil ichs gerade geschrieben habe - wenn es als eine Isometrie auf H^{-1} ist, anstatt nur L^2 wie ich von ausgegangen bin, kann man es auch ohne Abschätzung machen?

Edit2: Die Stetigkeit von \Psi:
$\begin{eqnarray*} \max_{s \in [0,T]} \sup_{\|f\| = 1, f \in L^1_\text{loc}} \| \Psi_f(s) \|_{H^{-1}} \leq \max_{s \in [0,T]} \sup_{\|f\| = 1, f \in L^1_\text{loc}} \int_s^T \| \mathfrak{T}(t-s) f(t) \|_{H^{-1}} dt \stackrel{\text{Isometrie}}{=} \max_{s \in [0,T]} \sup_{\|f\| = 1, f \in L^1_\text{loc}} \int_s^T \| f(t) \|_{H^{-1}} dt \leq \text{Konstante} \cdot T \end{eqnarray*}$

Wenn die Isometrie doch nicht stimmt würde dort die Abschätzung von sergej88 stehen, und die Konstante würde dann ein wenig hässlicher sein. Ich hoffe jemand kann bestätigen, dass ich nicht alle Normen durcheinadner geworfen habe. Der letzte Schritt wäre die Äquivalenz von
$\begin{eqnarray*} f \in L^1_{\text{loc}} \Leftrightarrow \int_s^T \|f\| < \infty \quad \forall s,T \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

22.03.2012, 00:02

sergej88

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Hallo,

ja an sowas habe ich gedacht. Wenns ne Isometrie ist, ist natürlich das leben wesentlich einfacher.
Meiner Meinung nach kann man aber das Max und Sup weglassen,
Am Ende sieht man ja, dass die rechte Seite beschränkt bleibt, so ist es dann evtl übersichtlicher.

PS: Die Integrationsgrenzen sollten schon dazu, sofern du nur lokal integrierbare Funktionen betrachtest.

mfg

22.03.2012, 05:51

IfindU

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Hi,

habe es oben ein bisschen korrigiert (Integralgrenzen dran geschrieben und f's Herkunft ergänzt). Die sup/max habe ich mal stehen gelassen, aber ich sehe was du meinst.

Danke!

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