Relation

21.03.2012, 15:33	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Relation Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} R\colon A\rightharpoondown B \end{eqnarray}$ eine Relation, d.h. $\begin{eqnarray} R\subseteq A\times B \end{eqnarray}$ . Dann definiere: $\begin{eqnarray} R^{}:=\left\{(y,x)\in B\times A~\|~(x,y)\in R\right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Delta_A:=\left\{(x,y)\in A\times A~\|~x=y\right\} \end{eqnarray}$ Man korreliere die Bedingungen "R ist funktional", "R ist überall definiert", R ist injektiv", "R ist surjektiv" mit $\begin{eqnarray} R\circ R^\subseteq\Delta_B, R^\circ R\subseteq\Delta_A, \Delta_B\subseteq R\circ R^, \Delta_A\subseteq R^\circ R \end{eqnarray}$ . Wann ist $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ (Graph einer) Funktion, injektiven Funktion, surjektiven Funktion bzw. bijektiven Funktion? Wann ist $\begin{eqnarray} R^* \end{eqnarray}$ Graph einer Funktion? (Bedingungen für $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ ) Man interpretiere $\begin{eqnarray} R^* \end{eqnarray}$ für eine bijektive Abbildung. Meine Ideen:* Moin, moin! Alles an dieser Aufgabe ist mir nicht klar... Aber erstmal das, was ich schon habe. Den ersten Teil der Aufgabe verstehe ich so, daß man zuordnen soll, welche Aussage zu welcher "Formel" gehört. 1.) "R ist funktional": $\begin{eqnarray} R\circ R^\subseteq\Delta_B \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \left\{(b,b')\in B\times B~\|~\exists a\in A: (b,a)\in R^\wedge (a,b')\in R\right\}\subseteq\left\{(b,b)~\|b\in B\right\} \end{eqnarray}$ Begründung: Die Aussage bedeutet doch in Worten, daß jedes Element in A nicht mehr als einen "Partner" in B hat. Man sieht, daß für jedes $\begin{eqnarray} (b,b')\in R\circ R^ \end{eqnarray}$ gilt, daß es ein $\begin{eqnarray} a\in A \end{eqnarray}$ gibt, sodaß $\begin{eqnarray} (b,a)\in R \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (a,b')\in R \end{eqnarray}$ . Wenn nun aber $\begin{eqnarray} (b,b')\in\Delta_B \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} b=b' \end{eqnarray}$ und deswegen gilt für $\begin{eqnarray} (b,a)\in R^* \end{eqnarray}$ (was ja die Voraussetzung hat, daß $\begin{eqnarray} (a,b)\in R \end{eqnarray}$ ), daß $\begin{eqnarray} (a,b)=(a,b') \end{eqnarray}$ . Das war jetzt etwas umständlich erklärt...* 2.) "R ist injektiv": $\begin{eqnarray} R^\circ R\subseteq\Delta_A \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} \left\{(a,a')\in A\times A~\|~\exists b\in B: (a,b)\in R\wedge (b,a')\in R^\right\}\subseteq\left\{(a,a)~\|~a\in A\right\} \end{eqnarray}$ In Worten: Jedes $\begin{eqnarray} b\in B \end{eqnarray}$ hat höchstens ein $\begin{eqnarray} a\in A \end{eqnarray}$ . Man sieht wieder, daß jedem $\begin{eqnarray} b\in B \end{eqnarray}$ zwar $\begin{eqnarray} a,a' \end{eqnarray}$ zugeordnet sind, daß aber $\begin{eqnarray} a=a' \end{eqnarray}$ . 3.) "R ist surjektiv": $\begin{eqnarray} \Delta_B\subseteq R\circ R^ \end{eqnarray}$ . In Worten: Jedes $\begin{eqnarray} b\in B \end{eqnarray}$ hat mindestens ein $\begin{eqnarray} a\in A \end{eqnarray}$ als "Partner". Sei $\begin{eqnarray} b\in B \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} (b,b)\in R\circ R^* \end{eqnarray}$ , ex. ein $\begin{eqnarray} a\in A: (b,a)\in R^\wedge (a,b)\in R \end{eqnarray}$ . 4.) "R ist überall definiert": $\begin{eqnarray} \Delta_A\subseteq R^\circ R \end{eqnarray}$ . In Worten heißt das: Jedes $\begin{eqnarray} a\in A \end{eqnarray}$ hat mindestens einen Partner $\begin{eqnarray} b\in B \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} a\in A \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} (a,a)\in R^\circ R \end{eqnarray}$ , existiert ein $\begin{eqnarray} b\in B: (a,b)\in R\wedge (b,a)\in R^ \end{eqnarray}$ . -----------------------Das war Teil 1.----------------------- Meine Ideen zu Teil 2 der Aufgabe: Wann ist $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ Graph einer Funktion? Wenn $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ funktional ist und überall definiert.* Wann ist $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ Graph einer injektiven Funktion? Wenn $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ funktional, überall definiert und injektiv ist. Wann ist $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ Graph einer surjektiven Funktion? Wenn $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ funktional, überall definiert und surjektiv ist. Wann ist $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ Graph einer bijektiven Funktion? Wenn $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ funktional, überall definiert, injektiv und surjektiv ist. -----------------------Das war Teil 2.----------------------- Das Einzige, wo mir im Moment gar nichts zu einfällt, ist: Wann ist $\begin{eqnarray} R^ \end{eqnarray}$ Graph einer Funktion? (Bedingungen für $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ ) Man interpretiere $\begin{eqnarray} R^* \end{eqnarray*}$ für eine bijektive Abbildung. Wäre jemand so nett, meine Ideen anzuschauen und mir einen Tipp zu dem Rest zu geben, den ich noch nicht verstanden habe? Vielen Dank! Dennis

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