cartesisches Produkt

21.03.2012, 17:21	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
cartesisches Produkt Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} p_i\colon A\to A_i, i\in I \end{eqnarray}$ ein cartesisches Produkt und sei $\begin{eqnarray} h\colon B\to A \end{eqnarray}$ ein Isomorphismus (d.h. es existiert ein Morphismus $\begin{eqnarray} g\colon A\to B \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} g\circ h=id_B, h\circ g=id_A \end{eqnarray}$ ). Man zeige, daß dann auch $\begin{eqnarray} p_i\circ h=B\to A_i, i\in I \end{eqnarray}$ ein cartesisches Produkt ist. Meine Ideen: Meint man hier das Produkt in der Kategorie der Mengen? $\begin{eqnarray} \prod_{i\in I}A_i=\left\{a\colon I\to\bigcup_{i\in I}A_i~\|~a(i)\in A_i~\forall i\in I\right\} \end{eqnarray}$ ?
22.03.2012, 16:36	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: cartesisches Produkt Ich habe mir mittlerweile überlegt, daß man wohl irgendeine Kategorie und somit irgendein kategorientheoretisches Produkt meint, also das Paar $\begin{eqnarray} (A,\left\{p_i~\|~i\in I\right\}) \end{eqnarray}$ . Wieso man hier von einem "cartesischen Produkt" spricht, ist mir völlig schleierhaft. Dieser Artikel ist mein Bezug: http://de.wikipedia.org/wiki/Produkt_(Kategorientheorie) Nun bildet also nach Annahme obiges Paar ein cartesisches Produkt. Dann bedeutet das also: $\begin{eqnarray} f_i=p_i\circ f \end{eqnarray}$ Zeigen muss ich nach meinem Verständnis der Aufgabe, daß $\begin{eqnarray} (B,\left\{p_i\circ h~\|~i\in I\right\}) \end{eqnarray}$ ebenfalls ein cartesisches Produkt ist oder wie ich angemessener sagen würde: ein kategorientheoretisches Produkt. Nun ist doch aber $\begin{eqnarray} f_i=p_i\circ h\circ g\circ f=p_i\circ id_A\circ f=p_i\circ f \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} h\circ g=id_A \end{eqnarray}$ . Ist das nicht schon der Beweis?

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