Wachstumfunktion bestimmen [War: Analysis]

21.03.2012, 17:29

Meiers22

Wachstumfunktion bestimmen [War: Analysis]

Funktion lautet: f(t)=ate^(-bt)
1. Bestimmen Sie die Parameterwerte a und b auf drei Dezimalstellen genau, wenn in der 7. Stunde 500 ME vorhanden sind und die Steigerung in dieser Stunde 50ME/Std beträgt.

I)e^(-7b)=500/7a
II)e^(-7b)=50/(a-7ab)

gleichsetzen:

(500/7a)=50/(a-7ab) |*(a-7ab)
(500a-3500ab)/7a=50

21.03.2012, 22:55

mYthos

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Lieblos die Aufgabe hinklatschen, sich nicht um eine ordentliche Titelwahl kümmern und keine konkrete Frage oder Problembeschreibung stellen - das erzeugt wenig Lust, sich mit deinem Anliegen zu befassen.

mY+

22.03.2012, 18:34

Meiers22

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Liegt vllt. daran, dass ich die Aufgabe mit einer Frage schonmal geposted habe und keiner geantwortet hat und deswegen den Thread neu aufmachen musste.
Jedenfalls komme ich hierbei nicht weiter. Habe es mit gleichsetzen gesucht, kann den Term aber nicht lösen und bräuchte einen Rat.
Danke

22.03.2012, 20:30

Dopap

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RE: Wachstumfunktion bestimmen [War: Analysis]

Zitat:

Original von Meiers22
1. Bestimmen Sie die Parameterwerte a und b auf drei Dezimalstellen genau, wenn in der 7. Stunde 500 ME vorhanden sind und die Steigerung in dieser Stunde 50ME/Std beträgt.

hier fehlt es an Genauigkeit. Soll das

1.) die Ableitung an der Stelle 7 ist 50 oder
2.) die Zunahme von Stunde 7 nach Stunde 8 beträgt 50
3.) oder sonstwas bedeuten. ??

23.03.2012, 11:22

Gualtiero

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Es geht wohl um diesen Thread.

Zitat:

Funktion lautet: f(t)=ate^(-bt)

I)f(7)=500
. . .
I)7ae^(-7b)=500|-500

Sollte die Funktion gemäß (I) nicht so lauten: $\begin{eqnarray*} f(t)=a \cdot e^{-b \cdot t} \end{eqnarray*}$

23.03.2012, 18:37

Dopap

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Sollte die Funktion gemäß (I) nicht so lauten: $\begin{eqnarray*} f(t)=a \cdot e^{-b \cdot t} \end{eqnarray*}$

ich gehe mal davon aus. Dezimalstellen sind gefordert. Warum nicht eine Näherungsrechnung?
Das führt mittels Newton auf

a=248.3
b=-0.100

was Besseres fällt mir dazu nicht ein.

23.03.2012, 20:17

Gualtiero

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Zitat:

Warum nicht eine Näherungsrechnung?

Gegenfrage: Warum Näherungsrechnung?

Unter der Annahme, dass mein Vorschlag stimmt, bekommt man als erste Ableitung: $\begin{eqnarray*} f'(t)=-b \cdot a \cdot e^{-b \cdot t} \end{eqnarray*}$

Die Angaben umgesetzt: $\begin{eqnarray*} f(7)=500=a \cdot e^{-7 \cdot b} \quad \text{und} \quad f'(7)=50=-a \cdot b \cdot e^{-7 \cdot b} \end{eqnarray*}$

Nach dem Tipp von Mathe-Maus erhält man:

$\begin{eqnarray*} \frac{500}{a}=-\frac{50}{a \cdot b} \end{eqnarray*}$

23.03.2012, 21:36

Dopap

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schön, und erhält $\begin{eqnarray*} a=500e^{-0.7} \quad b=-\frac 1 {10} \end{eqnarray*}$

und niemand rechnet das dem Fragesteller vor.

Denn selbst schafft er es nicht.

Elfenbeinturm?

23.03.2012, 22:26

Mathe-Maus

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Hallo JonasAlk bzw. Meiers22 verwirrt

überprüfe unbedingt nochmal die Ausgangsformel !

Lautet sie

$\begin{eqnarray*} f(t)=a \cdot e^{-b \cdot t} \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} f(t)=a \cdot t \cdot e^{-b \cdot t} \end{eqnarray*}$

verwirrt

Wenn das nicht klar ist, kommt hier nur Rätselraten zustande.

LG Mathe-Maus Wink

24.03.2012, 14:17

Meiers22

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Die Ausgangsformel lautet: f(t)=ate^(-bt)

24.03.2012, 14:46

Gualtiero

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Ich mache mal weiter, weil ich Deine Rückmeldung gerade sehe und von Deinen Ersthelfern niemand da ist.

Wir gehen aus von: $\begin{eqnarray*} f(t)=a \cdot t \cdot e^{-b \cdot t} \end{eqnarray*}$

und bekommen als Ableitung: $\begin{eqnarray*} f'(t)=(a-t \cdot b \cdot a) \cdot e^{-b \cdot t} \end{eqnarray*}$

Demnach stimmt Deine Gleichung im ersten Thread; ich schreibe sie nochmal in latex:

$\begin{eqnarray*} \frac{500}{7a}=\frac{50}{a-7ab} \end{eqnarray*}$

Nach kreuzweisem Multiplizieren haben wir: $\begin{eqnarray*} 500a-3500ab=350a \end{eqnarray*}$

und nach Vereinfachen: $\begin{eqnarray*} 150a=3500ab \end{eqnarray*}$

Jetzt stelle nach b um.

25.03.2012, 15:34

Meiers22

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Ok. So komme ich auf die richtige Lösung mit a=96,53 und b=0,0429.
Jetzt habe ich nochmal eine ganz wichtige Frage:
Im Ausgangsthread habe ich ja versucht die beiden Gleichungen nach 0 umzustellen und dann gleichzusetzen und nicht, wie jetzt nach e^(-7b) umzustellen.
So würde ich nach nochmaligem Versuch immer noch nicht weiterkommen. Kann mir jemand sagen, ob das wie ich es im Ausgangsthread angefangen habe auch möglich ist auf die richtige Lösung zu kommen oder nicht und bitte mit Begründung, würde es gerne richtig verstehen.
Danke

PS: Wenn man es nach 0 umstellt und gleichsetzt sieht der Term ja so aus:
6ae^(-7b)+7abe^(-7b)-450=0

25.03.2012, 16:02

Gualtiero

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In dieser Gleichung ist die Unbekannte b im Exponenten (zur Basis e) enthalten. Sie wäre nur zu bestimmen, wenn man durch Logarithmieren der Gleichung weiterkäme. Logarithmieren bringt aber nichts wegen der Summenausdrücke, die man nicht wegbekommt.
Besser kann ich es leider nicht erklären. Die Lösungen für a und b stimmen.

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