Darstellungstheorie: Charaktertafel ausfüllen

21.03.2012, 16:51	Duude	Auf diesen Beitrag antworten »
Darstellungstheorie: Charaktertafel ausfüllen Hallo alle zusammen, ich möchte gerne eine Charaktertafel ausfüllen, von der ich nur die ersten beiden Spalten gegeben habe. Über die zugehörige Gruppe G weiß ich, dass sie endlich ist. Hier einmal die gegebenen Spalten: $\begin{eqnarray} . \quad g_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g_2 \end{eqnarray}$ ? ? ? $\begin{eqnarray} \chi_1 \end{eqnarray}$ 1 1 ? ? ? $\begin{eqnarray} \chi_2 \end{eqnarray}$ 1 1 ? ? ? $\begin{eqnarray} \chi_3 \end{eqnarray}$ 1 1 ? ? ? $\begin{eqnarray} \chi_4 \end{eqnarray}$ 3 a ? ? ? $\begin{eqnarray} \chi_5 \end{eqnarray}$ 3 $\begin{eqnarray} \overline{a} \end{eqnarray}$ ? ? ? Dabei sind die $\begin{eqnarray} \chi_n \end{eqnarray}$ die Charaktere und $\begin{eqnarray} g_n \end{eqnarray}$ die Konjugationsklassen. Außerdem ist $\begin{eqnarray} \overline{a} \end{eqnarray}$ das komplex konjugierte von a. Jetzt das was ich schon herausgefunden habe: - ich weiß, dass eine Charaktertafel von der Art n x n ist, daher habe ich auch 5 Spalten (die noch fehlenden Einträge habe ich durch ? ersetzt) - ich weiß, dass die Gruppe nicht abelsch ist, denn in der ersten Spalte stehen die Dimensionen der einzelnen Charaktere. Nur wenn die erste Spalte nur aus 1en bestehen würde, wäre die Gruppe abelsch. - card(G)=3²+3²+1²+1²+1²=21. (da das jeweils die Einträge in der ersten Spalte im Quadrat und addiert sind) - die Kommutatorgruppe D(G) ist $\begin{eqnarray} \frac{\mathbb{Z}}{7 \mathbb{Z}} \end{eqnarray}$ , denn $\begin{eqnarray} \|\hat G\|=3 \Rightarrow \hat G = G/D(G) \Rightarrow \|D(G)\|=7 \Rightarrow D(G) \simeq \frac{\mathbb{Z}}{7 \mathbb{Z}} \end{eqnarray}$ - ich weiß, dass die erste Zeile lauter 1en sein müssen, weil das immer so ist. Das sind die Informationen, die ich bisher über die Gruppe finden konnte. Leider konnte ich aber von den anderen Lücken noch keine ausfüllen und stecke gerade etwas fest... Wäre super, wenn ihr mir helfen könntet. Duude

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