Endlicher Flächeninhalt zwischen einer gebrochenrationalen Funktion und ihrer Asymptote,

21.03.2012, 19:21	Seppes	Auf diesen Beitrag antworten »
Endlicher Flächeninhalt zwischen einer gebrochenrationalen Funktion und ihrer Asymptote, Meine Frage: Hallo, Ich schreibe am Freitag eine Klausur und gehe momentan ein paar Übungsaufgaben durch, um mich darauf vorzubereiten. Eine Aufgabe lautet wie folgt: Gegeben ist eine funktion $\begin{eqnarray} f(x)=(x^3-8x^2+5x)/(1-2x)^2 \end{eqnarray}$ gesucht ist der Flächeninhalt zwischen dieser Funktion und ihrer Asymptote im Intervall [1;+ $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ ]. Meine Ideen: Zuerst habe ich die Asymptote ermittelt. dabei habe ich Nenner und Zähler um $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ gekürzt und den Limes gebildet. Die funktion hat eine schiefe Asymptote mit der Funktion g(x)=x-2. Normalerweise würde ich nun den Limes von b->+ $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ des Integrals mit den Grenzen [1;b] bilden, aber ich kann den term nicht integrieren. Immerhin habe ich ihn zu $\begin{eqnarray} x-1/x(4x-4)/(4x-4+1/x) \end{eqnarray*}$ "vereinfachen" können, ich kann ihn aber trotzdem nicht Integrieren. Gibt es eine Möglichkeit das +1/x aus den Nenner zu bekommen, oder kann man es noch ganz anders versuchen?
21.03.2012, 19:39	thk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Seppes, du kannst keine Summen kürzen, also hier nicht das x^2. Deine Asy ist daher auch falsch. Versuche es mal mit einer Polynomdivision. Die Asy. zur Kontrolle: y=1/4x-7/4
21.03.2012, 19:59	Seppes	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich meinte, ich habe x^2 ausgeklammert und das Produkt gekürzt. f(x)= $\begin{eqnarray} (4x^3-8x^2+5x)/(4x^2-4x+1) \end{eqnarray}$ f(x)= $\begin{eqnarray} x^2(4x-8+5/x)/x^2(4-4/x+1/x^2) \end{eqnarray}$ f(x)= $\begin{eqnarray} (4x-8+5/x)/(4-4/x+1/x^2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{x \to +\infty } f(x)=x-2 \end{eqnarray}$
22.03.2012, 00:47	thk	Auf diesen Beitrag antworten »
(1) Du hast oben als Zählerterm x^3-8x^2+5x, im letzten Beitrag x^3-8x^2+5x Na gut, dann betrachten wir $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{4x^3-8x^2+5x}{4x^2-4x+1}=\frac{4x^3-8x^2+5x}{(1-2x)^2} \end{eqnarray}$ (2) Deine Grenzwertbildung liefert keine Asymptote Sorry, aber du kommst um Polynomdivision wohl nicht drum herum. Die Asy lautet für diese Funktion y=x-1 Weiteres Beispiel: $\begin{eqnarray} g(x)= \frac{x^2+x+1}{x+1} \end{eqnarray}$ Nach deiner Methode (x ausklammern) erhältst du y=x+1, die Asy ist in diesem Fall aber y=x
22.03.2012, 17:58	Seppes	Auf diesen Beitrag antworten »
In der ersten Formel hatte ich wohl die 4 vergessen, sorry. Du hast natürlich recht. Ich hätte es direkt mit einer Polynomdivison versuchen sollen. Herraus kommt f(x)= $\begin{eqnarray} x-1+(2x-1)^{-2} \end{eqnarray}$ . Nun stimmt auch die Asymptote. g(x)=x-1 Integriert man nun kommt herraus: $\begin{eqnarray} \int_1^b \! f(x)-g(x) \, dx \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \int_1^b \! x-1+(2x-1)^{-2}-(x-1) \, dx \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \int_1^b \! (2x-1)^{-2} \, dx \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \left[ \frac{-1}{4x-2} \right]_{1}^{b} \end{eqnarray}$ bei b-> $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ ist das ergebnis also $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ Ich danke dir, alleine wäre ich wohl nicht darauf gekommen die Polynomdivison durchzuführen, obwohl es natürlich das naheliegenste ist. In der Klausur werde ich bei solchen Aufgaben sicher wieder daran denken. //edit:
22.03.2012, 21:20	thk	Auf diesen Beitrag antworten »
perfekt gerechnet aber formell Klammern nicht vergessen. $\begin{eqnarray} \int_1^b \! \begin{pmatrix}f(x)-g(x)\end{pmatrix} \, dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_1^b \! \begin{pmatrix}x-1+(2x-1)^{-2}-(x-1)\end{pmatrix} \, dx \end{eqnarray}$ LG
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