Beweis über Vektorraum

22.03.2012, 01:00

Marius F.

Beweis über Vektorraum

Hallo allerseits, habe hier eine Aufgabe, bei der ich nicht mal einen Ansatz finde.

Ist $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein Vektorraum und $\begin{eqnarray*} v_{1}, ... , v_{n} \in V \end{eqnarray*}$ linear unabhängig
sowie $\begin{eqnarray*} v_{n+1} \in <v_{1}, ... , v_{n}> \end{eqnarray*}$ , so gibt es ein $\begin{eqnarray*} i \in {1, ... , n} \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} <v_{1}, ... , v_{i-1}, v_{i+1}, ... , v_{n}> \cap v_{n+1}\neq \end{eqnarray*}$ {0}

Ich würde Behaupten, da $\begin{eqnarray*} v_{n+1} \in <v_{1}, ... , v_{n}> \end{eqnarray*}$ , lässt sich $\begin{eqnarray*} v_{n+1} \end{eqnarray*}$ als Vektoren aus $\begin{eqnarray*} v_{1},...,v_{n} \end{eqnarray*}$ schreiben (linear abhängig). Ich versteh aber nicht, wieso Partout der Nullvektor nicht im Schnitt liegt.

22.03.2012, 01:02

Airblader

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Edit: Bist du sicher, dass die Aufgabe völlig richtig dasteht?

air

22.03.2012, 01:13

Marius F.

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RE: Beweis über Vektorraum

Zitat:

Original von Marius F.
Hallo allerseits, habe hier eine Aufgabe, bei der ich nicht mal einen Ansatz finde.

Ist $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein Vektorraum und $\begin{eqnarray*} v_{1}, ... , v_{n} \in V \end{eqnarray*}$ linear unabhängig
sowie $\begin{eqnarray*} v_{n+1} \in <v_{1}, ... , v_{n}> \end{eqnarray*}$ , so gibt es ein $\begin{eqnarray*} i \in {1, ... , n} \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} <v_{1}, ... , v_{i-1}, v_{i+1}, ... , v_{n}, v_{n+1}> \cap <v_{i}>\neq \end{eqnarray*}$ {0}

Sorry, hatte Fehler in der Aufgabenstellung, habs mal korrigiert im Zitat.

22.03.2012, 02:02

Airblader

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Gut. Dann beseitigen wir erstmal ein Missverständnis:

Zitat:

Ich versteh aber nicht, wieso Partout der Nullvektor nicht im Schnitt liegt.

Das wird nicht behauptet. Behauptet wird, dass im Schnitt ggf. mehr als nur der Nullvektor liegt.

air

22.03.2012, 02:32

Marius F.

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Ja genau, d.h. auch, dass es ein $\begin{eqnarray*} x \in U \wedge x \in W \end{eqnarray*}$ gibt, wobei $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} <v_{1},...,v_{i-1},v_{i+1},...v_{n},v_{n+1}> \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} <v_{i}> \end{eqnarray*}$ aufgespannt wird.
$\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ ist offenbar ein Untervektorraum von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ . Es gilt aber auch $\begin{eqnarray*} v_{i} \in U \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} v_{i} \in <v_{1},...,v_{n}>=:v_{n+1} \end{eqnarray*}$ gilt für alle $\begin{eqnarray*} i \in {1,...,n} \end{eqnarray*}$ . Somit ist $\begin{eqnarray*} v_{i} \in U\cap W \end{eqnarray*}$ und es gilt die Behauptung.

Ist das so in Ordnung?

22.03.2012, 04:51

Airblader

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Zitat:

Original von Marius F.
Ja genau, d.h. auch, dass es ein $\begin{eqnarray*} x \in U \wedge x \in W \end{eqnarray*}$ gibt,

Das gibt es immer, nämlich $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ . Hier geht es darum, dass es sogar noch mehr gibt.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ ist offenbar ein Untervektorraum von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ .

Nein, das sehe ich nicht ein. Warum?

Zitat:

Es gilt aber auch $\begin{eqnarray*} v_{i} \in U \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} v_{i} \in <v_{1},...,v_{n}>=:v_{n+1} \end{eqnarray*}$ gilt für alle $\begin{eqnarray*} i \in {1,...,n} \end{eqnarray*}$ .

Das ergibt nichtmal Sinn. Was soll $\begin{eqnarray*} v_i \in v_{n+1} \end{eqnarray*}$ bedeuten?

Nochmal zur Aufgabe: Steht da nicht irgendwo noch $\begin{eqnarray*} v_{n+1} \neq 0 \end{eqnarray*}$ dabei? Falls nein, versuche mal nachzudenken, was hier passieren kann.

Nun ein wenig Hilfestellung: Wir wissen, dass $\begin{eqnarray*} v_{n+1} = \sum_{j=1}^n \lambda_jv_j \end{eqnarray*}$ für bestimmte $\begin{eqnarray*} \lambda_j \in K \end{eqnarray*}$ gilt. Wir nehmen ganz frech mal $\begin{eqnarray*} v_{n+1} \neq 0 \end{eqnarray*}$ an, dann muss mindestens ein $\begin{eqnarray*} \lambda_i \neq 0 \end{eqnarray*}$ sein (genau so wählen wir uns das i aus). Dann können wir das Ganze aber zu
$\begin{eqnarray*} v_i = \frac{1}{\lambda_i}\left(v_{n+1}-\sum_{i \neq j = 1}^n \lambda_jv_j\right) = \sum_{i \neq j = 1}^{n+1} \tilde{\lambda}_jv_j \end{eqnarray*}$
umformen (wie müssen die $\begin{eqnarray*} \tilde{\lambda}_j \end{eqnarray*}$ gewählt werden?).

Dass $\begin{eqnarray*} v_i \in \langle v_i \rangle \end{eqnarray*}$ gilt, ist wohl offensichtlich. Mit obigen Ausführungen sehen wir aber auch $\begin{eqnarray*} v_i \in \langle v_1, \ldots, v_{i-1}, v_{i+1}, \ldots, v_n, v_{n+1} \rangle \end{eqnarray*}$ . Wegen $\begin{eqnarray*} v_i \neq 0 \end{eqnarray*}$ (woher wissen wir das?) folgt damit die Behauptung, da $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ dann auch im Schnitt liegt.

air

22.03.2012, 17:00

Marius F.

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ ist offenbar ein Untervektorraum von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Nein, das sehe ich nicht ein. Warum?

Es gilt $\begin{eqnarray*} v_{i} \in W \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} i\in {1,...,n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_{1},...v_{n}\in V \end{eqnarray*}$ . Also ist $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ eine echte Teilmenge von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Das ergibt nichtmal Sinn. Was soll $\begin{eqnarray*} v_i \in v_{n+1} \end{eqnarray*}$ bedeuten?

Ich gebe zu, der Aufschrieb ist natürlich unter aller Sau. Ich meinte, dass $\begin{eqnarray*} v_{i} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_{n+1} \end{eqnarray*}$ linear abhängig sind.

Zitat:

Nochmal zur Aufgabe: Steht da nicht irgendwo noch $\begin{eqnarray*} v_{n+1} \neq 0 \end{eqnarray*}$ dabei? Falls nein, versuche mal nachzudenken, was hier passieren kann.

Es steht nirgends solch eine Bedingung dabei. Es kann passieren, dass $\begin{eqnarray*} v_{n+1}=v_{i} \end{eqnarray*}$ ist, $\begin{eqnarray*} v_{n+1} \end{eqnarray*}$ l.a. zu $\begin{eqnarray*} v_{i} \end{eqnarray*}$ ist und auch die l. Unabh kann auftreten.

Zitat:

Nun ein wenig Hilfestellung: Wir wissen, dass $\begin{eqnarray*} v_{n+1} = \sum_{j=1}^n \lambda_jv_j \end{eqnarray*}$ für bestimmte $\begin{eqnarray*} \lambda_j \in K \end{eqnarray*}$ gilt. Wir nehmen ganz frech mal $\begin{eqnarray*} v_{n+1} \neq 0 \end{eqnarray*}$ an, dann muss mindestens ein $\begin{eqnarray*} \lambda_i \neq 0 \end{eqnarray*}$ sein (genau so wählen wir uns das i aus). Dann können wir das Ganze aber zu
$\begin{eqnarray*} v_i = \frac{1}{\lambda_i}\left(v_{n+1}-\sum_{i \neq j = 1}^n \lambda_jv_j\right) = \sum_{i \neq j = 1}^{n+1} \tilde{\lambda}_jv_j \end{eqnarray*}$
umformen (wie müssen die $\begin{eqnarray*} \tilde{\lambda}_j \end{eqnarray*}$ gewählt werden?).

Ah, ok gut. Über die Summenschreibweise habe ich bislang nicht nachgedacht. $\begin{eqnarray*} \tilde{\lambda}_j ={\lambda}_j \end{eqnarray*}$ und für i=j ungleich 0 (?)

Zitat:

Dass $\begin{eqnarray*} v_i \in \langle v_i \rangle \end{eqnarray*}$ gilt, ist wohl offensichtlich. Mit obigen Ausführungen sehen wir aber auch $\begin{eqnarray*} v_i \in \langle v_1, \ldots, v_{i-1}, v_{i+1}, \ldots, v_n, v_{n+1} \rangle \end{eqnarray*}$ . Wegen $\begin{eqnarray*} v_i \neq 0 \end{eqnarray*}$ (woher wissen wir das?)

$\begin{eqnarray*} v_{1},...,v_{n} \end{eqnarray*}$ sind l.unabh. bzw $\begin{eqnarray*} \lambda_{i} \end{eqnarray*}$ nicht 0.

22.03.2012, 17:21

Airblader

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Zitat:

Original von Marius F.
Es gilt $\begin{eqnarray*} v_{i} \in W \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} i\in {1,...,n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_{1},...v_{n}\in V \end{eqnarray*}$ . Also ist $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ eine echte Teilmenge von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ .

Das reicht aber nicht für eine Teilmengenbeziehung. Jeder Vektor in W müsste auch in V liegen. Und eine Teilmengenbeziehung reicht noch lange nicht für eine Untervektorraumbeziehung.
Im Übrigen solltest du $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ nicht so verwenden, da dieser Buchstabe bei uns eine fixierte Bedeutung hat. Augenzwinkern

Zitat:

Ich meinte eher, du solltest dir konkrete Gedanken über ein Gegenbeispiel zur Behauptung machen. Deine Aussage ist insofern ein wenig sinnlos, als dass "im Fall $\begin{eqnarray*} v_{n+1} = 0 \end{eqnarray*}$ könnte $\begin{eqnarray*} v_{n+1} = v_i \end{eqnarray*}$ passieren" sich einfach widerspricht. smile

Im $\begin{eqnarray*} V := \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ bietet sich $\begin{eqnarray*} v_1 = e_1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} v_2 = e_2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} v_3 = 0 \end{eqnarray*}$ an. Gilt für dieses Beispiel die Behauptung und wenn nein, warum nicht?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \tilde{\lambda}_j ={\lambda}_j \end{eqnarray*}$ und für i=j ungleich 0 (?)

Nein – und das kannst du besser. Du musst die Summe nur entspr. umformen und kannst dann direkt ablesen, wie die Lambdas gewählt werden müssen. Dass dies nicht stimmt, würdest du sofort sehen, wenn du es einfach mal einsetzt und schaust, ob wirklich die Gleichung stimmt.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} v_{1},...,v_{n} \end{eqnarray*}$ sind l.unabh. bzw $\begin{eqnarray*} \lambda_{i} \end{eqnarray*}$ nicht 0.

Ersteres ist der Grund, ja. Eine Menge, die den Nullvektor enthält, wäre nämlich automatisch linear abhängig.

air

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