Wert einer Reihe bestimmen

22.03.2012, 02:36

MathenieteL

Wert einer Reihe bestimmen

Hallo!

Ich habe hier eine Aufgabe, in der ich den Wert einer Reihe berechnen soll. Ich denke mal, dass mit Wert der Grenzwert gemeint ist.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{2^{k} }{3^{k+2} } \end{eqnarray*}$

Ja, gut. Und jetzt?

In einer ähnlichen Aufgabe habe ich einen Ansatz entdeckt, der mich dazu führt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{2^{k} }{3^{k+2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3^{2} } \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{2^{k} }{1^{k} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{9 } \sum\limits_{k=0}^\infty {2^{k} } \end{eqnarray*}$

Ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{9 } \end{eqnarray*}$ schon die Lösung?
Aus den anderen Aufgaben werde ich nicht schlau, da steht noch etwas von Indexverschiebung, aber das verstehe ich leider gar nicht unglücklich

Hoffe ihr habt einige Anstöße für mich, damit mein Knoten im Hirn mal platzt bei dem Thema Forum Kloppe

22.03.2012, 02:53

Mulder

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RE: Wert einer Reihe bestimmen

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3^{2} } \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{2^{k} }{1^{k} } \end{eqnarray*}$

So stimmt es natürlich nicht. Sondern:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{2^k}{3^{k+2}} = \frac{1}{3^{2} } \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{2^{k} }{3^{k} } \end{eqnarray*}$

Nun gibt es ja eine einfache Lösungsformel für die geometrische Reihe:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} q^k = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n} q^k = \lim_{n \to \infty}\frac{1-q^{n+1}}{1-q} = \frac{1}{1-q}, \end{eqnarray*}$

In deinem Fall ist nun $\begin{eqnarray*} q = \frac 2 3 \end{eqnarray*}$

Edit: Diese Konvergenz gilt natürlich nur für alle q mit |q|<1.

22.03.2012, 15:44

MathenieteL

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Ah, ich glaube nun habe ich das mit der Summe durchschaut!
Ich muss praktisch die gegebene Reihe so umformen, dass ich auf die geometrische Reihe komme?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{9} \sum\limits_{k=0}^\infty \left(\frac{2}{3} \right) ^{k} \end{eqnarray*}$

Und das kann ich dann einfach $\begin{eqnarray*} = \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$ setzen?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{9} \sum\limits_{k=0}^\infty \left(\frac{2}{3} \right) ^{k} = \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{1- \frac{2}{3} } = 3 \end{eqnarray*}$

Und dann noch mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{9} \end{eqnarray*}$ multiplizieren?

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{9}\cdot 3 = \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Somit ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ der Grenzwert der Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{2^{k} }{3^{k+2} } \end{eqnarray*}$

Ist das nun richtig gelöst?
Kann/muss ich das formell noch anders schreiben?
Muss da irgendwo noch öfter "lim" stehen?
Hätte die Reihe nicht von Anfang an k=0 gehabt, hätte ich dann die Indexverschiebung machen müssen?

Fragen über Fragen Ups

22.03.2012, 15:50

Che Netzer

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Zitat:

Original von MathenieteL
Ich muss praktisch die gegebene Reihe so umformen, dass ich auf die geometrische Reihe komme?

Ja. (zumindest in diesem Fall)

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{9} \sum\limits_{k=0}^\infty \left(\frac{2}{3} \right) ^{k} \end{eqnarray*}$

Und das kann ich dann einfach $\begin{eqnarray*} = \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$ setzen?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{9} \sum\limits_{k=0}^\infty \left(\frac{2}{3} \right) ^{k} = \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{1- \frac{2}{3} } = 3 \end{eqnarray*}$

Und dann noch mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{9} \end{eqnarray*}$ multiplizieren?

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{9}\cdot 3 = \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Das 1/9 hätte ich einfach mitgeschrieben, sonst stimmen die Gleichungen ja nicht mehr.

Zitat:

Somit ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ der Grenzwert der Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{2^{k} }{3^{k+2} } \end{eqnarray*}$

Ist das nun richtig gelöst?

Soweit ich das sehe, ja.

Zitat:

Kann/muss ich das formell noch anders schreiben?
Muss da irgendwo noch öfter "lim" stehen?

Ein Grenzwert wird nicht gebildet, aber den Faktor solltest du nicht einfach weglassen und später wieder einfügen.
Ansonsten solltest du nur sicherstellen, dass der Leser weiß, was q ist bzw. q definieren.

Zitat:

Hätte die Reihe nicht von Anfang an k=0 gehabt, hätte ich dann die Indexverschiebung machen müssen?

Wenn sie bei n angefangen hätte, hättest du am Ende einfach die Summanden von 1 bis n-1 wieder abgezogen (dabei den Faktor nicht vergessen!).
Beispiel:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty\frac{2^k}{3^{k+2}}=\frac19\left(\frac1{1+\frac23}-1\right)=\frac29 \end{eqnarray*}$
(wenn ich mich nicht verrechnet habe)

mfg,
Ché Netzer

22.03.2012, 15:54

Mulder

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Zitat:

Original von MathenieteL
Ich muss praktisch die gegebene Reihe so umformen, dass ich auf die geometrische Reihe komme?

Ja.

Beim Aufschreiben musst du nur darauf achten, solche unsinnigen Zeilen

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{9} \sum\limits_{k=0}^\infty \left(\frac{2}{3} \right) ^{k} = \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$

zu vermeiden, denn hier ist das Gleichheitszeichen, das da steht, ja vollkommen falsch. Also wenn, dann so:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{9} \sum\limits_{k=0}^\infty \left(\frac{2}{3} \right) ^{k} = \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{1-\frac{2}{3}} = ... \end{eqnarray*}$

Den Limes brauchst du eigentlich nicht, denn du verwendest ja die bereits fertige "Lösungsformel" mit dem 1/(1-q). Da hat der Grenzübergang ja bereits stattgefunden. Da muss man aber auch insgesamt ein bisschen eigenes Gespür für entwickeln, was man wann wie aufschreibt. Das kommt aber von ganz alleine.

Der Wert 1/3 ist insgesamt richtig. Das ist der Wert der Reihe ("Reihengrenzwert" ist so eine Sache... es ist der Grenzwert der Folge der Partialsummen).

Wenn der Index nicht 0 ist, rettet man sich durch Indexverschiebung oder zieht die Summanden, die fehlen, vom Endergebnis einfach wieder ab. Wenn also der Startwert 1 ist, dann rechnest du ganz normal, so als ob die Reihe bei k=0 loslaufen würde und ziehst vom Endergebnis dann den Summanden für k=0 wieder ab.

Edit: Hat sich überschnitten. @Che: Ganz am Ende ist ein kleiner Tippfehler drin, in der Klammer muss es im Nenner natürlich MINUS 2/3 heißen. Das nur, damit der Fragesteller nicht verwirrt wird, du kannst es ja bei Gelegenheit eben korrigieren.

22.03.2012, 16:56

MathenieteL

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Vielen vielen Dank für die Hilfe! Gott

Die richtige Schreibweise ist da eine ziemliche Schwäche von mir...
Aber ich denke, dass ich das Prinzip nun verstanden habe!

11.12.2016, 17:32

Jojolino57

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RE: Wert einer Reihe bestimmen
Was ist wenn |q|=1 und |q|>1? Ist es dann divergent?

12.12.2016, 08:58

klarsoweit

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RE: Wert einer Reihe bestimmen
Ja.

Zitat:

Original von Che Netzer

Zitat:

Hätte die Reihe nicht von Anfang an k=0 gehabt, hätte ich dann die Indexverschiebung machen müssen?

Auch wenn es etwas länger zurückliegt. Korrekt ist $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty\frac{2^k}{3^{k+2}}=\frac 1 9 \left(\frac1{1-\frac 2 3}-1\right)=\frac 2 9 \end{eqnarray*}$ . smile

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