Injektivität

22.03.2012, 10:17

martinio

Injektivität

Hallo,

habe eine Frage zur Injektivität.

wenn ich nun zwei Abbilldung $\begin{eqnarray*} f: A \longrightarrow B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g: B \longrightarrow C \end{eqnarray*}$ , die beide injektiv sind miteinander verbinde (komponiere?!) , bzw. die Kompoisition bilde $\begin{eqnarray*} g \cdot f : A \longrightarrow C \end{eqnarray*}$ , dann ist diese auch injektiv.

Kann ich nun sagen, dass alle Elemente aus A abgebildet werden, aber dass nicht alle Elemente in B getroffen werden?
Oder muss ich sagen, dass nicht alle Elemente in B ein Urbild haben, aber solche die eins haben nur genau eins besitzen?
Was ist mit dem Kern? Der besteht ja nur aus der Null und hat daher als Basis die leere Menge wonach die dim ker(f) = 0. Wo liegt die Null nun im Bildbereich? Ist sie Teilmenge des Bildes , oder kann es passieren, dass sie außerhalb liegt?

22.03.2012, 10:38

IfindU

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RE: Injektivität

Zitat:

Kann ich nun sagen, dass alle Elemente aus A abgebildet werden, aber dass nicht alle Elemente in B getroffen werden?

Es müssen nicht alle Elemente aus B getroffen werden, können aber.

Zitat:

Oder muss ich sagen, dass nicht alle Elemente in B ein Urbild haben, aber solche die eins haben nur genau eins besitzen?

Das stimmt, kürzer formuliert: Jedes Element von b hat höchstens ein Urbild.

Zitat:

Was ist mit dem Kern? Der besteht ja nur aus der Null und hat daher als Basis die leere Menge wonach die dim ker(f) = 0.

Der Kern kann leer sein, wenn man so etwas überhaupt für allgemeine Abbildungen definiert.

So wie ich das sehe, gehst du aus, dass sowohl f als auch g linear sind. Das müssen sie allerdings nicht sein.
$\begin{eqnarray*} A = \{1\}, B=\{b\}, C=\{\text{Ente}\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(1) = b, g(b) = \text{Ente} \end{eqnarray*}$ .

Die Abbildung ist injektiv, surjektiv (!), und wenn man sagt Kern definiert als Menge, die auf die 0 geschickt wird, gibt es kein Element, da weder 1,b noch "Ente" 0 heißt.

22.03.2012, 11:05

martinio

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danke für die schnelle antwort! Freude

ja ich gehe immer von linearen Abbildungen aus, das stimmt.
In der linearen Algebra kommen ja eigentlich nur solche vor, da man sich hier mit den Vektorräumen beschäftigt und daher auch mit Vektorraumhomomorphismen.

22.03.2012, 11:16

IfindU

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Die Aussage gilt allerdings viel allgemeiner, man braucht weder Vektorräume noch Homomorphismen. Das kann man sofort mit der Definition, indem man z.B. $\begin{eqnarray*} |(g \circ f)^{-1}(c)| \leq 1 \forall c \in C \end{eqnarray*}$ zeigt.

22.03.2012, 11:22

Mystic

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RE: Injektivität

Zitat:

Original von IfindU
Der Kern kann leer sein, wenn man so etwas überhaupt für allgemeine Abbildungen definiert.

Unbeschadet der Tatsache, dass die Aussagen von martinio über den Kern "jenseits von gut und böse" sind (offenbar hat er in letzter Zeit zuviel lineare Algebra betrieben!) ist der Kern einer Abbildung tatsächlich für beliebige Abbildungen $\begin{eqnarray*} f:A \rightarrow B \end{eqnarray*}$ definiert und zwar durch

$\begin{eqnarray*} (a,b) \in Kern f : \Leftrightarrow f(a)=f(b) \quad (a,b \in A) \end{eqnarray*}$

Insebsondere ist f genau dann injektiv, wenn Kern f die identische Relation auf A ist.

22.03.2012, 11:30

IfindU

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RE: Injektivität
Danke für die Auflärung Mystic. Der Kern misst also immer noch wie viele Elemente/Paare die Injektivität verletzen.

22.03.2012, 12:00

martinio

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RE: Injektivität

Zitat:

Original von Mystic
Unbeschadet der Tatsache, dass die Aussagen von martinio über den Kern "jenseits von gut und böse" sind (offenbar hat er in letzter Zeit zuviel lineare Algebra betrieben!) [...]

Davon abgesehen, dass ich mich in der letzten Zeit ausschließlich nur mit der lin. Algebra beschäftigtige verstehe ich nicht, warum meine Aussagen falsch sein sollten.

Bei einer linearen Abbildung , sei diese f genannt, gilt:

injektiv $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \dim ker(f) = 0 \end{eqnarray*}$

Wenn bei einer bel. linearen Abbildung die Dimension des Kerns größer Null wäre, dann bedeutet dies, dass mind. einen Dimension unter der Abbildung verloren geht, wonach gelten muss, dass die Basis des Kerns auch mind. die Länge Eins hat.

z.B. $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R^3 \longrightarrow \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} f\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} x \\ y \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Also eine Abbildung vom R^3 in einen seiner Unterräume.
Damit wäre eine Basis des Bildes $\begin{eqnarray*} \left\{ x \times \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} + y \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \dim im(f) = 2 \end{eqnarray*}$ , wonach aus der Dimensionsformel folgt, dass $\begin{eqnarray*} \dim ker(f)=1 \end{eqnarray*}$ . Ich erspaar mir jetzt mal die Arbeit hier die Basis anzugeben.

22.03.2012, 13:31

IfindU

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RE: Injektivität
Mystic bezog sich die Aussagen, wenn die Abbildungen nicht linear sind. Für allgemeine Abbildungen machen die Aussagen erst einmal keinen Sinn.

Und deine Begründung passt nur für Endomorphismen - für andere hast du keine Dimensionsformel.

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