Reihen auf Konvergenz prüfen

22.03.2012, 10:28

Arcus-sinus

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Reihen auf Konvergenz prüfen

Meine Frage:

Hallo!
Ich habe Probleme bei der Überprüfung von Reihen und Folgen auf Konvergenz. Ich habe zwar Ansätze und komme auch zu Ergebnissen, aber irgendwie hab ich noch nicht ganz raus wie man systematisch vorgeht und wie man das richtig aufschreibt. Hat vielleicht jemand eine "Anleitung" wie ich bei solchen Aufgaben am Besten vorgehe?
ich nehme nämlich bei Reihen mit Brüchen nur das Quotientenkriterium und weiß gar nicht wann ich die anderen Kriterien nutzen soll?! und bei mir konvergieren immer alle Folgen O.o
Big Laugh

Big Laugh

Ich hab mal folgende Reihen untersucht:

a) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{2n!}{n^n}<br /> \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n^3 + n^2 -3}{5n^3 + 2n^2 -n +1}<br /> \end{eqnarray*}$

c) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty (\frac{n^2}{(2n)^3 - 5})^n<br /> \end{eqnarray*}$

d) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n^{n+\frac{1}{n} }}{(n+\frac{1}{n} )^n})<br /> \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:

a)
$\begin{eqnarray*} | \frac{a_{n+1}}{a_n}| = \frac{2(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{2n!} = \frac{2(n+1)\cdot n! \cdot n^n}{(n+1)^n \cdot (n+1)\cdot 2n!} = (\frac{n}{(n+1)})^n = \frac{1}{(1+\frac{1}{n})^n } \leq \frac{1}{1+n\cdot \frac{1}{n} } = \frac{1}{2} \leq 1<br /> <br /> \Rightarrow Die Reihe konvergiert <br /> \end{eqnarray*}$

b)
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n^3 + n^2 -3}{5n^3 + 2n^2 -n +1} = \frac{1+\frac{1}{n} - \frac{3}{n^3} }{5+ \frac{2}{n} - \frac{1}{n^2}+ \frac{1}{n^3} } =\lim_{n \to \infty } = \frac{1}{5} <br /> <br /> \Rightarrow Die Reihe konvergiert gegen \frac{1}{5} <br /> \end{eqnarray*}$

c)
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty (\frac{n^2}{(2n)^3 - 5})^n = (\frac{\frac{1}{n} }{(8-\frac{5}{n^3} )})^n =\frac{1}{n^{n} } \cdot \frac{1}{{(8-\frac{5}{n^3})}^n } <br /> <br /> \Rightarrow Die Reihe konvergiert<br /> \end{eqnarray*}$

d)
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n^{n+\frac{1}{n} }}{(n+\frac{1}{n} )^n}= \frac{n^{n}\cdot \sqrt[n]{n} }{(n+\frac{1}{n})^n } = (\frac{n}{n+\frac{1}{n} })^n \cdot \sqrt[n]{n}= (\frac{1}{1+\frac{1}{n^2} })^n \cdot \sqrt[n]{n} = \frac{\sqrt[n]{n}} {(1+\frac{1}{n^2})^n } \leq \frac{\sqrt[n]{n}} {1+n \cdot \frac{1}{n^2} } =\lim_{n \to \infty } \frac{\sqrt[n]{n}} {1+\frac{1}{n} } \leq 1<br /> \Rightarrow Die Reihe konvergiert<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

müssen eigentlich q.e.d.´s am Ende stehen?
ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen :-(

GLG!!!

22.03.2012, 10:42

Che Netzer

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RE: Reihen auf Konvergenz prüfen

Zitat:

Original von Arcus-sinus
Meine Frage:

a)
$\begin{eqnarray*} | \frac{a_{n+1}}{a_n}| = \frac{2(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{2n!} = \frac{2(n+1)\cdot n! \cdot n^n}{(n+1)^n \cdot (n+1)\cdot 2n!} = (\frac{n}{(n+1)})^n = \frac{1}{(1+\frac{1}{n})^n } \leq \frac{1}{1+n\cdot \frac{1}{n} } = \frac{1}{2} \leq 1<br /> <br /> \Rightarrow Die Reihe konvergiert <br /> \end{eqnarray*}$

Sieht richtig aus, am Ende musst du aber die echte Ungleichheit benutzen.

Zitat:

b)
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n^3 + n^2 -3}{5n^3 + 2n^2 -n +1} = \frac{1+\frac{1}{n} - \frac{3}{n^3} }{5+ \frac{2}{n} - \frac{1}{n^2}+ \frac{1}{n^3} } =\lim_{n \to \infty } = \frac{1}{5} <br /> <br /> \Rightarrow Die Reihe konvergiert gegen \frac{1}{5} <br /> \end{eqnarray*}$

Nur wenn die Folge der Summanden konvergiert, muss die Reihe noch lange nicht konvergieren. Nimm dir z.B. eine konstante Folge mit dem Wert 1. Die ist offensichtlich gegen 1 konvergent, aber wenn du unendlich oft 1 aufsummierst, erhältst du keinen endlichen Wert.

Allerdings kann man aussagen, dass eine Reihe nur dann konvergent sein kann, wenn die Folge der Summanden eine Nullfolge ist.
D.h. wenn sie keine ist, kann man sofort sagen, dass die Reihe divergiert. (aber auch bei Nullfolgen konvergiert die Reihe nicht immer)

Hier hast du z.B. gezeigt, dass die Folge gegen 1/5 konvergiert, d.h. die Reihe ist divergent.

Zitat:

c)
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty (\frac{n^2}{(2n)^3 - 5})^n = (\frac{\frac{1}{n} }{(8-\frac{5}{n^3} )})^n =\frac{1}{n^{n} } \cdot \frac{1}{{(8-\frac{5}{n^3})}^n } <br /> <br /> \Rightarrow Die Reihe konvergiert<br /> \end{eqnarray*}$

Hier solltest du das Wurzelkriterium anwenden.

Und vor allem darfst du nicht einfach die Reihe mit einem einzelnen Summanden gleichsetzen.

Zitat:

d)
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n^{n+\frac{1}{n} }}{(n+\frac{1}{n} )^n}= \frac{n^{n}\cdot \sqrt[n]{n} }{(n+\frac{1}{n})^n } = (\frac{n}{n+\frac{1}{n} })^n \cdot \sqrt[n]{n}= (\frac{1}{1+\frac{1}{n^2} })^n \cdot \sqrt[n]{n} = \frac{\sqrt[n]{n}} {(1+\frac{1}{n^2})^n } \leq \frac{\sqrt[n]{n}} {1+n \cdot \frac{1}{n^2} } =\lim_{n \to \infty } \frac{\sqrt[n]{n}} {1+\frac{1}{n} } \leq 1<br /> \Rightarrow Die Reihe konvergiert<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Hier ebenfalls.

Allgemein: Wenn ein "hoch n" auftaucht (bei möglichst vielen Faktoren), ist das Wurzelkriterium meist praktisch, sonst das Quotientenkriterium (und insbesondere auch bei Summen in Nenner oder Zähler).

Vorher ist es aber meist sinnvoll, zu überprüfen, ob überhaupt eine Nullfolge vorliegt.

Zitat:

müssen eigentlich q.e.d.´s am Ende stehen?

Nein, das setzt man nur, wenn man einen Satz (oder ein Lemma etc.) bewiesen hat. Bei Rechnungen könnte man das zwar auch setzen, aber das ergibt überhaupt nur dann Sinn, wenn man eine Vermutung bewiesen hat.
Z.B:
Die Reihe konvergiert. Beweis: ... qed
Wenn man keine Aussage hatte, die man beweisen möchte, ist ein qed unsinnig.

mfg,
Ché Netzer

22.03.2012, 10:47

klarsoweit

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RE: Reihen auf Konvergenz prüfen
Ergänzend zu Che Netzer:

Zitat:

Original von Arcus-sinus
b)
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n^3 + n^2 -3}{5n^3 + 2n^2 -n +1} = \frac{1+\frac{1}{n} - \frac{3}{n^3} }{5+ \frac{2}{n} - \frac{1}{n^2}+ \frac{1}{n^3} } =\lim_{n \to \infty } = \frac{1}{5} \end{eqnarray*}$

c)
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty (\frac{n^2}{(2n)^3 - 5})^n = (\frac{\frac{1}{n} }{(8-\frac{5}{n^3} )})^n \end{eqnarray*}$

Diese Gleichungen sind einfach nur formaler Unfug.

22.03.2012, 13:24

Arcus-sinus

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Hallo,

danke für die schnellen Antworten smile

smile

ich hab c) nochmal versucht:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty (\frac{n^2}{(2n)^3 - 5})^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{| a_n | } =\sqrt[n]{(\frac{n^2}{(2n)^3 - 5})^n} = \frac{n^2}{(2n)^3 - 5} = \frac{1}{8n-\frac{5}{n^2}} =\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{\frac{5}{n^3} } \leq \frac{1}{3} < 1<br /> <br /> \Rightarrow Die Reihe konvergiert<br /> \end{eqnarray*}$

bei b) weiß ich leider nicht wie ich da anders verfahren soll... wenn ich da das Quotientenkriterium verwende, kommt nur chaos raus...

und war die d) jetzt auch komplett falsch?!

22.03.2012, 13:48

HAL 9000

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Bei d) bringen Wurzel- und Quotientenkriterium nichts, sie ergeben Wert 1, d.h. Unentscheidbarkeit.

Aber man kann $\begin{eqnarray*} \frac{n^{n+\frac{1}{n}}}{\left( n+\frac{1}{n} \right)^n} > 1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 3 \end{eqnarray*}$ nachweisen, womit die Reihendivergenz klar ist.

22.03.2012, 14:05

Arcus-sinus

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gibt es denn so eine Art "Anleitung" für Konvergenzuntersuchungen?

wie gehe ich denn im allgemeinen vor?
erstmal eine vermutung aufstellen?
und dann meistens mit dem quotientenkriterium dann versuchen die vermutung nachzuweisen?

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22.03.2012, 14:54

HAL 9000

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Es ist schwer, in wenigen Worten den Schulunterricht zu ersetzen, wo solche grundlegenden Fragen ja eigentlich erörtert werden sollten, inklusive Übung einiger Beispiele...

Ein Überblick wird hier gegeben: http://de.wikipedia.org/wiki/Unendliche_...ergenzkriterien

Jedenfalls solltest du dich von der Vorstellung verabschieden, mit dem Quotientenkriterium meist durchzukommen. Die wirklich interessanten Reihen kann man weder mit Quotienten- noch Wurzelkriterium entscheiden, da müssen dann meist Majoranten- bzw. Minorantenkriterium sowie damit im Zusammenhang ein paar geschickte Abschätzungen ran.

22.03.2012, 15:32

Che Netzer

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Zitat:

Original von Arcus-sinus

ich hab c) nochmal versucht:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty (\frac{n^2}{(2n)^3 - 5})^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{| a_n | } =\sqrt[n]{(\frac{n^2}{(2n)^3 - 5})^n} = \frac{n^2}{(2n)^3 - 5} = \frac{1}{8n-\frac{5}{n^2}} =\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{\frac{5}{n^3} } \leq \frac{1}{3} < 1<br /> <br /> \Rightarrow Die Reihe konvergiert<br /> \end{eqnarray*}$

Jein. Die letzte Gleichung und die Ungleichung mit 1/3 kann ich nicht ganz nachvollziehen.
Aber beim Bruch vorher merkt man schon, dass der gegen 0 geht.
Ich würde es so aufschreiben:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\vert a_n\vert}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{8n^3-5}=0<1 \end{eqnarray*}$
Ggf. kann man aber noch n² kürzen...

Zitat:

bei b) weiß ich leider nicht wie ich da anders verfahren soll... wenn ich da das Quotientenkriterium verwende, kommt nur chaos raus...

Sieh dir mal an, gegen welchen Grenzwert die Summanden konvergieren:
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty}a_n\neq 0\Rightarrow\sum\limits_{n=0}^\infty a_n \text{ ist divergent} \end{eqnarray*}$

Zitat:

und war die d) jetzt auch komplett falsch?!

Ja.

mfg,
Ché Netzer

29.03.2012, 22:47

Arcus-sinus

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sooo hab die b nochmal überarbeitet^^

$\begin{eqnarray*} \leq \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{5}+\frac{1}{5n} = \frac{1}{5}+\frac{1}{5}\cdot \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

stimmt die denn jetzt? Engel

Engel

EDIT: Latexcode auf 2 Zeilen verteilt. (klarsoweit)

EDIT2: sorry, hier habe ich versehentlich den vorderen Teil der Rechnung gelöscht, was aber nicht weiter tragisch ist, da es den wesentlichen Sachverhalt der Rechnung nicht verändert.

29.03.2012, 22:59

Che Netzer

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Wenn dir beim Kürzen und sonstwo keine Flüchtigkeitsfehler unterlaufen sind, habe ich noch folgendes zu meckern:
1. In den Summen wären Klammern hilfreich
2. Die Ungleichung müsste $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ sein. Mit "kleiner gleich" würdest du sowieso keine Aussage treffen können. Aber die Reihe mit 3 im Zähler kannst du so nicht abschätzen. Stattdessen könntest du sehen, dass sie konvergiert und = c setzen.
3. Findest du wirklich, dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty\frac15=\frac15 \end{eqnarray*}$ ??
Da hat ganz eindeutig Unendlich als Grenzwert Augenzwinkern

Augenzwinkern

4. Ich hätte es sowieso anders gemacht:
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^3+n^2-3}{5n^3+2n^2-n+1}=\frac15 \end{eqnarray*}$ , also kann die Reihe nicht konvergieren, da die Summanden keine Nullfolge bilden.
De Grenzwert kann man (wenn man ihn nicht einfach sehen darf) z.B. durch Kürzen oder mehrfachen l'Hospital bestimmen.

29.03.2012, 23:28

Integralos

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Wieso soll

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{5} \end{eqnarray*}$

divergieren ?...du hast nichtmal ein n in der Summe.

29.03.2012, 23:30

Arcus-sinus

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okaaay ^^

zu1: wo soll ich denn da genau Klammern setzen?
zu2: ich hatte zuerst ein größergleich aber das stimmt dann nicht mehr, weil links ist es ja kleiner
zu3: das hab ich ja nicht behauptet^^ ich hab die 1/5 ja vor die Summe geholt , (ich hoffe ich habe dabei gegen keine Regel verstoßen^^)

kann man meinen Ansatz überhaupt korrigieren? oder ist der einfach komplett falsch und deine eine Zeile würde ausreichen ?

Lg

29.03.2012, 23:31

Mulder

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Zitat:

Original von Integralos
Wieso soll

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{5} \end{eqnarray*}$

divergieren ?...du hast nichtmal ein n in der Summe.

Na und? Da wird "unendlich oft" 1/5 aufsummiert. Ergo divergent. Sonst denk dir halt ein n dazu:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{5} \cdot 1^n \end{eqnarray*}$

29.03.2012, 23:34

Integralos

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Stimmt...Denkfehler^^
danke

30.03.2012, 09:13

Arcus-sinus

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wieso ist die d) denn eigentlich falsch?

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{n} = 1 \end{eqnarray*}$

und dann wäre das ganze doch kleiner als 1 ?!

30.03.2012, 09:45

Mystic

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Zitat:

Original von Arcus-sinus
wieso ist die d) denn eigentlich falsch?

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{n} = 1 \end{eqnarray*}$

und dann wäre das ganze doch kleiner als 1 ?!

Ne, das Gegenteil ist der Fall: $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n} \end{eqnarray*}$ ist mit Ausnahme von n=1 stets größer als 1...

Edit: Ok, ich hab mir jetzt genauer angesehen, was du gemeint haben könntest, insbesondere mit "das ganze", und da war meine obige Anmerkung jetzt dann nicht so besonders sinnvoll...

30.03.2012, 10:34

klarsoweit

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RE: Reihen auf Konvergenz prüfen

Zitat:

Original von Arcus-sinus
d)
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n^{n+\frac{1}{n} }}{(n+\frac{1}{n} )^n}= \frac{n^{n}\cdot \sqrt[n]{n} }{(n+\frac{1}{n})^n } = (\frac{n}{n+\frac{1}{n} })^n \cdot \sqrt[n]{n}= (\frac{1}{1+\frac{1}{n^2} })^n \cdot \sqrt[n]{n} = \frac{\sqrt[n]{n}} {(1+\frac{1}{n^2})^n } \leq \frac{\sqrt[n]{n}} {1+n \cdot \frac{1}{n^2} } =\lim_{n \to \infty } \frac{\sqrt[n]{n}} {1+\frac{1}{n} } \leq 1<br /> \Rightarrow Die Reihe konvergiert \end{eqnarray*}$

Ich hatte weiter oben schon mal angemerkt , daß dies in dieser Form formaler Unfug ist. So könnte man es noch einigermaßen retten:

$\begin{eqnarray*} \frac{n^{n+\frac{1}{n} }}{(n+\frac{1}{n} )^n} = \frac{n^n\cdot \sqrt[n]{n} }{(n+\frac{1}{n})^n } = (\frac{n}{n+\frac{1}{n} })^n \cdot \sqrt[n]{n}= (\frac{1}{1+\frac{1}{n^2} })^n \cdot \sqrt[n]{n} \rightarrow 1 \cdot 1 = 1 \end{eqnarray*}$

Damit hast du aber nicht ein q < 1 gefunden, so daß $\begin{eqnarray*} \frac{n^{n+\frac{1}{n} }}{(n+\frac{1}{n} )^n} \leq q \end{eqnarray*}$ ist bis auf endlich viele Ausnahmen. Würde es nämlich ein derartiges q geben, dann würde der Grenzwert nicht gleich 1 sein.

Siehe dazu auch den Beitrag von HAL9000.

30.03.2012, 11:55

Che Netzer

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Zitat:

Original von Arcus-sinus
zu1: wo soll ich denn da genau Klammern setzen?

Beispiel:
$\begin{eqnarray*} \sum \frac1n+\frac n{n+1}\rightarrow \sum\left(\frac1n+\frac n{n+1}\right) \end{eqnarray*}$

Zitat:

zu2: ich hatte zuerst ein größergleich aber das stimmt dann nicht mehr, weil links ist es ja kleiner

Beim Abschätzen gibt es zwei Möglichkeiten:
1. man findet eine Reihe, deren Glieder immer größer sind und die konvergiert.
2. man findet eine Reihe, deren Glieder immer kleiner sind und die divergiert.
Die gegebene Reihe ist divergent, also muss man sie nach unten abschätzen, um eine Aussage treffen zu können.

Zitat:

zu3: das hab ich ja nicht behauptet^^ ich hab die 1/5 ja vor die Summe geholt , (ich hoffe ich habe dabei gegen keine Regel verstoßen^^)

Die 1/5 waren kein Faktor, von daher dürftest du höchstens das hier schreiben:
$\begin{eqnarray*} \sum\frac15=\frac15\sum1 \end{eqnarray*}$
Aber:
$\begin{eqnarray*} \sum\left(\frac15+\frac1{n^2}\right)\neq\frac15\sum\frac1{n^2} \end{eqnarray*}$ (die linke Reihe ist divergent, die rechte konvergent)

Zitat:

kann man meinen Ansatz überhaupt korrigieren? oder ist der einfach komplett falsch und deine eine Zeile würde ausreichen ?

Die eine Zeile würde auf jeden Fall ausreichen, aber wenn du die Reihe unbedingt abschätzen möchtest, solltest du sie immer nach unten abschätzen und am Ende nur noch 1/5 bzw. 1/(5+1/n+...) als Summanden haben. Aber den Weg möchte ich jetzt gar nicht gehen, es ist wesentlich sinnvoller, den Folgengrenzwert zu bestimmen (!)

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