Konvergenz v. Reihen | Majorantenkriterium

22.03.2012, 14:25

M_F

Konvergenz v. Reihen | Majorantenkriterium

Hallo Zusammen,

folgende Aufgabe:

Erklären Sie das Majoranten- bzw. dass Minorantenkriterium. Weisen Sie die Konvergenz bzw. Divergenz folgender Reihen mit dem Majoranten- bzw. Minorantenkriterium nach indem Sie geeignete obere bzw. untere Abschätzungen angeben.

a) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=17}^\infty \frac{7n²+18n+2}{n^4+100} \end{eqnarray*}$ (Hinweis: diese Reihe ist konvergent.)

b) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=17}^\infty \frac{n+(-1)^n}{n^2-7} \end{eqnarray*}$ (Hinweis: diese Reihe ist divergent.)

c) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=17}^\infty \frac{n^2-cos(n)}{4n^3} \end{eqnarray*}$ (Hinweis: diese Reihe ist divergent.)

zu a)

Majorantenkriterium:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty a_{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty b_{n} \end{eqnarray*}$ seien zwei Reihen für die $\begin{eqnarray*} |a_{n}|\leq b_{n} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gelte.

Dann folgt aus der Konvergenz von $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty b_{n} \end{eqnarray*}$ auch die Konvergenz von $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty a_{n} \end{eqnarray*}$ .

Das würde nun heißen, ich suche (Abschätzen) mir eine eine Reihe $\begin{eqnarray*} b_{n} \end{eqnarray*}$ welche größer ist als der Betrag der Reihe $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ und weise nach, dass die Folge ihrer Partialsummen auch konvergieren.

Wo es klemmt:

Wie schätze ich die Reihe $\begin{eqnarray*} b_{n} \end{eqnarray*}$ vernünftig ab und wie komme ich dann am einfachsten zu der Folge ihrer Partialsummen? Den Nachweis über die Konvergenz der Folge sollte dann wieder drin sein.

Ich bitte um Ratschläge, auch formaler Natur.

Danke!

22.03.2012, 15:25

HAL 9000

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Für die Vergleichsreihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty b_n \end{eqnarray*}$ wählt man Reihen, deren Konvergenzverhalten man bereits (von früheren Untersuchungen, oder sonstwoher) kennt. Paradebeispiel ist die Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{\alpha}} \end{eqnarray*}$ ,

die für reelle $\begin{eqnarray*} \alpha>1 \end{eqnarray*}$ konvergiert, während sie für $\begin{eqnarray*} \alpha\leq 1 \end{eqnarray*}$ divergiert.

Zufällig (oder auch nicht) ist das nun gerade die Vergleichsreihe, die alle deine Beispiele a),b),c) erschlägt, entweder mit Majorantenkriterium (also Konvergenz) oder eben mit Minorantenkriterium (dann Divergenz).

22.03.2012, 16:05

M_F

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Das leuchtet ein! Danke dir! Und ich merke, ich habe den 2. vor dem 1. Schritt gemacht.

Mit folgender Aufgabe habe ich mich vorher befasst, aber nicht abgeschlossen. Sonst wäre mir vielleicht die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty n \frac{1}{n^\alpha } \end{eqnarray*}$ zur weiteren Lösung auch eingefallen.

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty n \frac{1}{n^\alpha } \end{eqnarray*}$ konvergiert, falls $\begin{eqnarray*} \alpha > 1 \end{eqnarray*}$ .
Anleitung: Falls $\begin{eqnarray*} \alpha > 1 \end{eqnarray*}$ gilt (Warum?):

$\begin{eqnarray*} 1+\frac{1}{2^\alpha}+\frac{1}{3^\alpha} +\frac{1}{4^\alpha} +...+\frac{1}{(2^n+1)^\alpha} = 1+(\frac{1}{2^\alpha}+\frac{1}{3^\alpha})+(\frac{1}{4^\alpha}+...+\frac{1}{7^\alpha})+...+(\frac{1}{(2^{n-1} )^\alpha } +...+\frac{1}{(2^{n}-1 )^\alpha })<1+2\frac{1}{2^\alpha } +4\frac{1}{4^\alpha }+...+2^{n-1} \frac{1}{(2^{n-1})^\alpha } \end{eqnarray*}$

Dieser letzte Ausdruck lässt sich nun auf die Form einer geometrischen Reihe bringen, welche man als Majorante gemäß des Majorantenkriteriums verwenden kann – tun Sie dies.

Leider bin ich noch nicht weiter gekommen aus der Folge die Reihe zu bilden. Hast du vielleicht einen Denkanstoß?

22.03.2012, 16:20

HAL 9000

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Der Beweis ähnelt der Vorgehensweise beim Cauchyschen Verdichtungskriterium. Du musst als nächstes die Terme rechts gemäß den Potenzgesetzen

$\begin{eqnarray*} \frac{a^b}{a^c} = a^{b-c} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} a^{bc} = \left( a^b \right)^c \end{eqnarray*}$

umwandeln:

$\begin{eqnarray*} 1 + 2\frac{1}{2^{\alpha}} + 4\frac{1}{4^{\alpha}} + \ldots + 2^{n-1} \frac{1}{(2^{n-1})^{\alpha}} = \sum_{k=0}^{n-1} 2^k\cdot \frac{1}{\left( 2^k \right)^{\alpha}} = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{\left( 2^k \right)^1}{\left( 2^k \right)^{\alpha}} = \sum_{k=0}^{n-1} \left( 2^k \right)^{1-\alpha} = \sum_{k=0}^{n-1} 2^{k(1-\alpha)} = \sum_{k=0}^{n-1} \left( 2^{1-\alpha} \right)^k \end{eqnarray*}$

Das hat nun die Struktur der Partialsumme $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n-1} q^k \end{eqnarray*}$ einer geometrischen Reihe, und zwar mit $\begin{eqnarray*} q = 2^{1-\alpha} \end{eqnarray*}$ .

22.03.2012, 16:59

M_F

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Ok, auch das leuchtet ein.

Und nun muss ich den Nachweis bringen, dass die geometrische Reihe konvergiert. Denn damit hätte ich bewiesen, dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha } \end{eqnarray*}$ auch konvergiert. verwirrt

22.03.2012, 17:03

HAL 9000

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So ist es.

23.03.2012, 12:07

M_F

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Weiter geht es.

Ok ich weiß, dass eine geometrische Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty q^k \end{eqnarray*}$ genau dann konvergiert, wenn $\begin{eqnarray*} | q | < 1 \end{eqnarray*}$ ist.

Reicht es nun wenn ich die Ungleichung aufstelle und nach $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ auflöse?

Sprich:

$\begin{eqnarray*} 1>2^{1-\alpha } \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} log(1)>(1-\alpha )*log(2) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} =\frac{log(1)}{log(2)}>(1-\alpha ) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} =0>1-\alpha=\alpha >1 \end{eqnarray*}$

Ich bitte auch um Hinweise zu geben, bezüglich formaler Korrektheit.

23.03.2012, 12:47

klarsoweit

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Zitat:

Original von M_F
$\begin{eqnarray*} 1>2^{1-\alpha } \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} log(1)>(1-\alpha )*log(2) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} =\frac{log(1)}{log(2)}>(1-\alpha ) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} =0>1-\alpha=\alpha >1 \end{eqnarray*}$

Also Äquivalenzpfeile sind da durchaus eher angebracht:

$\begin{eqnarray*} 1>2^{1-\alpha } \Leftrightarrow log(1)>(1-\alpha )*log(2) \Leftrightarrow \frac{log(1)}{log(2)}>(1-\alpha ) \Leftrightarrow 0>1-\alpha \Leftrightarrow \alpha >1 \end{eqnarray*}$

Sonst ok.

23.03.2012, 13:40

M_F

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Ich danke dir.

Jetzt zurück zur Ausgangsfrage. Nachweis Konvergenz/Divergenz der Reihen a), b) und c).

zu a)

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=17}^\infty \frac{7n^2+18n+2}{n^4+100} \end{eqnarray*}$ (Hinweis: ist konvergent)

Majorantenermittlung: Es gilt

$\begin{eqnarray*} | \frac{7n^2+18n+2}{n^4+100} | < \frac{7n^2+18n}{n^4} = \frac{7n+18}{n^3} < \frac{1}{n^{\frac{3}{2}} } \end{eqnarray*}$

somit ist

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=17}^\infty \frac{1}{n^{\frac{3}{2}} } \end{eqnarray*}$ Majorante von $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=17}^\infty \frac{7n^2+18n+2}{n^4+100} \end{eqnarray*}$

Und da vorher bewiesen wurde, dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha } \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \alpha > 1 \end{eqnarray*}$ konvergiert, konvergiert $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=17}^\infty \frac{1}{n^{\alpha } } \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \alpha > 1 \end{eqnarray*}$ und somit auch $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=17}^\infty \frac{7n^2+18n+2}{n^4+100} \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig? Fehlt noch irgendwas?

23.03.2012, 13:55

klarsoweit

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Zitat:

Original von M_F
Majorantenermittlung: Es gilt

$\begin{eqnarray*} | \frac{7n^2+18n+2}{n^4+100} | < \frac{7n^2+18n}{n^4} = \frac{7n+18}{n^3} < \frac{1}{n^{\frac{3}{2}} } \end{eqnarray*}$

Es ist nicht klar erkennbar, warum diese Abschätzungen gelten sollen. Beispielweise ist $\begin{eqnarray*} \frac{7n+18}{n^3} < \frac{1}{n^{\frac{3}{2}} } \end{eqnarray*}$ falsch für n=1. Es kommt zwar n=1 in der Summe nicht vor, allerdings ist das ein Indiz, daß die Ungleichung nicht einfach mal so gilt.

Warum nimmst du nicht die brutalst mögliche Abschätzung $\begin{eqnarray*} 7n^2 + 18n +2 \leq 7n^2 + 18n^2 + 2n^2 \end{eqnarray*}$ ? Augenzwinkern

23.03.2012, 14:26

M_F

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Du hast recht, ist sogar ziemlich offensichtlich.

Nun mit deinem Ansatz:

$\begin{eqnarray*} | \frac{7n^2+18n+2}{n^4+100} | < \frac{7n^2+18n^2+2n^2} {n^4+100} < \frac{27n^2}{n^4}= \frac{27}{n^2} \end{eqnarray*}$

Wäre $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=17}^\infty \frac{27}{n^2} \end{eqnarray*}$ nun Majorante und kann man den Nachweis wie oben auch mit $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha} \end{eqnarray*}$ bringen?

Ich hoffe du meintest das so. Bin grad noch unsicher, was die Umsetzung der gelernten Theorie angeht.

23.03.2012, 14:37

klarsoweit

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Ja, so war es gedacht.

Allerdings ist die Konvergenz der Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=17}^\infty \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ eher bekannt als die Konvergenz der Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha} \end{eqnarray*}$ für alpha > 1.

Wie du das machst, hängt also davon ab, was schon bekannt ist.

24.03.2012, 13:33

M_F

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Dank der Beweisführung weiter oben ist mir ja nun bekannt, dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{\alpha } } \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ größer 1. Deshalb hätte ich die Konvergenz damit bewiesen.

Was meinst du genau mit ist "eher bekannt"? Die Konvergenz der Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=17}^\infty \frac{1}{n^{2 } } \end{eqnarray*}$ geht doch auch auf die Konvergenz der Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{\alpha } } \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ größer 1 zurück, oder?

Nächster Punkt wäre der Nachweis via Minorante.

In der Theorie würde das ja wie folgt ablaufen: Beim Minorantenkriterium schätzt man die Folge $\begin{eqnarray*} b_{k} \end{eqnarray*}$ der Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\ b_{k} \end{eqnarray*}$ nach unten z.B. durch $\begin{eqnarray*} a_{k} \end{eqnarray*}$ ab.
Divergiert dann die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\ a_{k} \end{eqnarray*}$ , so divergiert auch die zu untersuchende Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\ b_{k} \end{eqnarray*}$ .

Weiter meine ich zu wissen, dass z.B. die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ divergiert.

Bei dem Beispiel b) soll ich Nachweisen, dass diese divergiert.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=17}^\infty \frac{n+(-1)^n}{n^2-7} \end{eqnarray*}$

Aber auch hier scheitere ich gerade wieder an der passenden Minorante. Kann mir vielleicht jemand wieder ein Denkanstoß liefern? Ich danke euch!!

25.03.2012, 14:19

klarsoweit

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Zitat:

Original von M_F
Was meinst du genau mit ist "eher bekannt"? Die Konvergenz der Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=17}^\infty \frac{1}{n^{2 } } \end{eqnarray*}$ geht doch auch auf die Konvergenz der Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{\alpha } } \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ größer 1 zurück, oder?

Die Frage ist eben, was zuerst bewiesen wird oder wurde. Wenn die Konvergenz von $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{\alpha } } \end{eqnarray*}$ bewiesen wurde, dann kann man die Konvergenz von $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=17}^\infty \frac{1}{n^{2 } } \end{eqnarray*}$ darauf zurückführen. Man kann aber auch dessen Konvergenz direkt (oder eben anders) beweisen.

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