Ableitung von sinx mit der definition

22.03.2012, 14:57

Mohamedyarub

Ableitung von sinx mit der definition

Meine Frage:
guten tag

hier als bild anhang, sehen sie mein problem. ich habe diese aufgabe und die aufgabe mit der ableitung von cosx aber erst mal die ableitung mit sinx mit hilfe der definition. beide verstehe ich bis auf den letzten schritt
hoffe ihr könnt mir das erklären, wie wir auf dieses ergebnis kommen.

[attach]23643[/attach]

Meine Ideen:
wie sie am anhang sehen, kann ich die aufgabe lösen, aber weiß nicht warum ich das ergebnis bekomme.

22.03.2012, 15:20

klauss

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RE: Ableitung von sinx mit der definition
Bei dem Ausdruck

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{sin(x)}{x} = 1 \end{eqnarray*}$

oder allgemeiner

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{sin(ax)}{ax} = 1; a\neq 0 \end{eqnarray*}$

handelt es sich um einen "Standardgrenzwert", der mit verschiedenen Methoden berechnet werden kann und auf den daher gern Grenzwertberechnungen mit sin-Funktionen zurückgeführt werden. Sollte Dir die Herleitung bisher nicht bekannt sein, vermag ich nicht zu beurteilen, ob diese hier auf die Schnelle vorgeführt werden muß. Einstweilen würde es für die Aufgabenlösung genügen, diesen so hinzunehmen.

Nicht minder interessant wäre allerdings die Frage, woher Du die Aussage

$\begin{eqnarray*} \lim_{DeltaX \to 0} \frac{cos(Delta X)-1}{Delta X}= 0 \end{eqnarray*}$

genommen hast.

Denn $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$ ist nicht 0, sondern ein unbestimmter Ausdruck.

22.03.2012, 15:57

HAL 9000

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Tatsächlich folgt der hier verwendete Kosinusgrenzwert mittelbar aus dem anderen, dem Sinusgrenzwert, und zwar durch Erweiterungh mit $\begin{eqnarray*} (\cos(x)+1) \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} \frac{\cos(x)-1}{x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{\cos^2(x)-1}{x^2(\cos(x)+1)} = -\lim_{x\to 0} \frac{\sin^2(x)}{x^2(\cos(x)+1)} = -\left( \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x} \right)^2 \cdot \lim_{x\to 0} \frac{1}{\cos(x)+1} = -1^2\cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

und daraus dann

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} \frac{\cos(x)-1}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{\cos(x)-1}{x^2} \cdot \lim_{x\to 0} x = -\frac{1}{2}\cdot 0 = 0 \end{eqnarray*}$

Verbleibt also $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \end{eqnarray*}$ , was man mit Hilfe der Sinusdefinition im Einheitskreis "geometrisch" begründen kann.

22.03.2012, 16:25

Mohamedyarub

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vielen dank für die schnelle antwort

du hast recht. dieser ausdruck $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{sin(x)}{x} = 1 \end{eqnarray*}$ ist mir noch nicht bekannt. aber trotzdem verstehe ich es nicht. sin0=0
also würde ich doch im prinzip das hier bekommen $\begin{eqnarray*} \frac{sin(0)}{0} = \frac{(0)}{0}=unbestimmter-ausdruck \end{eqnarray*}$

zudem verstehe ich nicht diesen rechenschritt nicht
$\begin{eqnarray*} sinX\lim_{DeltaX \to 0} \frac{cos(Delta X)-1}{Delta X}= 0 \end{eqnarray*}$

weil ich würde nach dem einfügen von Lim das hier bekommen

$\begin{eqnarray*} sinX\frac{cos0-1}{0}= ? \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} sinX\frac{1-1}{0}= ? \end{eqnarray*}$

warum haben wir jetzt hier 0 bekommen ( ist im anhang der vorletzte schritt) obwohl wir jetzt gesagt haben, dass 0/0 unbestimmter ausdruck ist.

ich kann natürlich diese regeln auswendig lernen aber dass ist ja nicht der sinn des studiums ( ich studiere zurzeit Physik )

22.03.2012, 16:53

klauss

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Unbestimmter Ausdruck heißt nicht, dass 0/0 nie 0 werden kann, sondern nur, dass man ohne weitere Untersuchung den Grenzwert nicht pauschal angeben kann.
Hier ist
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{cos(x)-1}{x} \end{eqnarray*}$
"zufällig" tatsächlich 0, nachprüfbar z. B. mit Bernoulli-L'Hospital oder der Taylorreihe zu cos(x).

22.03.2012, 16:57

HAL 9000

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Zitat:

Original von klauss
z. B. mit Bernoulli-L'Hospital oder der Taylorreihe zu cos(x).

Und woher hat man die für diese beiden Wege erforderliche Ableitung des Kosinus, wenn es wie hier im Thread doch erstmal um die Basis-Berechnung der Ableitung von Sinus/Kosinus geht? Augenzwinkern

Klingt nach der berühmten Katze, die sich in den Schwanz beißt.

22.03.2012, 17:10

klauss

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Diese beiden Wege sollen ja auch nicht der BEWEIS sein, sondern nur die (schnelle) Bestätigung eines anderweitig gefundenen Ergebnisses.

Bei der Ableitung von sin und cos kommt man übrigens etwas bequemer hin, wenn man die Formel für die "zweiseitige" Sekantensteigung benutzt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h} \end{eqnarray*}$

22.03.2012, 17:24

Mohamedyarub

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vielen dank
hab jetzt diese aufgabenstellung zum großteil verstanden
aber jetzt das 2. problem mit der ableitung von cosx ebenfalls mit der definiton.

[attach]23645[/attach]

wie ihr sehen könnt, bekomme ich als endergebnis sinx und nicht -sinx wie es auch sein soll.
vieleicht habe ich mich mit den cos regeln vertan

22.03.2012, 17:28

klauss

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Hier hast Du das Additionstheorem des cos nicht richtig angewendet. Wenn im cos-Argument ein Plus steht, wird dies zu Minus.

22.03.2012, 18:50

Mohamedyarub

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@ klauss

ja stimmt hab das Additionstheorem des cos nicht richtig angewendet
jetzt nach dem ich ein minus statt dem plus eingefügt habe, habe ich als endergebnis -sinx bekommen.

vielen dank

23.03.2012, 07:52

HAL 9000

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Zitat:

Original von klauss
Diese beiden Wege sollen ja auch nicht der BEWEIS sein, sondern nur die (schnelle) Bestätigung eines anderweitig gefundenen Ergebnisses.

Eine Bestätigung ist das dann aber nicht, wenn man dieses anderweitig gefundene Ergebnis in den eigenen Betrachtungen mit nutzt. Es ist allenfalls ein Nicht-Widerspruch. Augenzwinkern

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