Spur, Norm, char. Pol. - Körpertheorie

22.03.2012, 15:12	Grouser	Auf diesen Beitrag antworten »
Spur, Norm, char. Pol. - Körpertheorie Folgende Proposition hält mich seit gestern auf. Es geht auch dieses Mal um algebraische Zahlentheorie aus dem Klassiker von Professor Samuel (Seite 36 in der englischen Fassung für jene, die es ihr Eigen nennen): $\begin{eqnarray} \text{Sei K ein Körper der Charakteristik 0 oder endlich, sei L eine algebraische Erweiterung vom Grade n über K, sei x ein Element aus L und seien } x_1,\ldots,x_n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{ die Nullstellen des Minimalpolynoms von x über K (in einer geeigneten Körpererweiterung von K), jede [L:K[x]] mal wiederholt. Dann: } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Spur_{L/K}(x) = x_1 + \ldots + x_n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Norm_{L/K}(x) = x_1 \ldots x_n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Charpol_{L/K}(x) = (X-x_1)\ldots(X-x_n) \end{eqnarray}$ Hier macht mir die Formulierung des Satzes Schwierigkeiten und führt dazu, dass der Beweis reichlich undurchsichtig wirkt. Für ein primitives Element x, also [L:K[x]] = 1 leuchten mir Satz und Beweis ein, allgemein hinterlässt er mich aber ein wenig verwirrt. Was meint Professor Samuel damit, dass jede Nullstelle [L:K[x]] mal wiederholt sein soll. Ist das eine Voraussetzung des Satzes oder möchte er, dass ich für ein Beispiel mit den Nullstellen x_1 = 0, x_2 = 3, x_3 = -1 und [L:K[x]] = 2 die Nullstellen 0,0,3,3,-1,-1 notiere? Was heißt das in diesem Beispiel für Spur, Norm und das charakteritische Polynom? Wird auch hier jede Nullstelle mehrmals besetzt? Klar ist ja erst einmal, dass die Körpererweiterung seperabel ist. Daher vermute ich fast mit meinen Ideen oben richtig zu liegen, doch bleibt ein gewisser Zweifel. Falls jemand eine gute Lektüre (gerne auch englischsprachig) kennt, die sich mit Spur, Norm und char Pol in algebraischen Körpererweiterungen beschäftigt, würde ich mich auch darüber freuen, um es dort noch einmal nachzulesen.
22.03.2012, 15:39	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, Du dürftest mit deinen Gedanken richtig liegen. Es ist $\begin{eqnarray} \operatorname{Sp}_{L/K}(x) &=& [L:K(x)] \, \operatorname{Sp}_{K(x)/K}(x) = [L:K(x)] \sum x_i \\<br /> \operatorname{N}_{L/K}(x) &=& \left(\operatorname{N}_{K(x)/K}(x) \right)^{[L:K(x)]} \end{eqnarray}$ wobei die Summe rechts über die verschiedenen Nullstellen gehen sollte (unter der Annahme der Separabilität). Ist zwar nicht ein Buch über algebraische Zahlentheorie, aber Bosch hat ein Kapitel über Norm und Spur in seiner Algebra. Da ist das z.B. zu finden. Grüsse
22.03.2012, 17:48	Grouser	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, das hat das Problem gelöst.

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