absolute und bedingte Konvergenz

22.03.2012, 15:20

Toniimstress

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absolute und bedingte Konvergenz

Meine Frage:
Hallo,

kann man mir jemanden bitte absolute und bedingte Konvergenz ausführlich erklären. bitte auch mit Beispiele.
ich komm leider nicht ganz klar besonders mit bedingte Konvergenz.

Vielen dank

Meine Ideen:
ich weiß nur dass absolute Konvergenz gilt wenn $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n | an | \end{eqnarray*}$ konvergiert.

22.03.2012, 15:29

Mulder

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RE: absolute und bedingte Konvergenz
Bedingt konvergent heißt, dass die Reihe konvergiert, aber nicht absolut konvergiert. Ein Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} \end{eqnarray*}$

ist konvergent, wie man mit dem Leibniz-Kriterium schnell nachweist. Sie ist aber nicht absolut konvergent, denn

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \left \vert \frac{(-1)^n}{n} \right \vert = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Und diese Reihe divergiert, das ist ja die harmonische Reihe.

22.03.2012, 15:58

toni-im-stress

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absolute und bedingte Konvergenz
Meine Frage:
Hallo,

kann mir jemand bitte die "absolute und bedingte Konvergenz" ausführlich erklären. bitte mit Beispiele.
besonders bei bedingte konvergenz.

vielen Dank

Meine Ideen:
ich weiß nur dass eine Reihe absolut Konvergent wäre wenn $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n |an| \end{eqnarray*}$ konvergiert.

vielen Dank

22.03.2012, 15:59

Mulder

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RE: absolute und bedingte Konvergenz
Doppelpost

Was soll sowas? unglücklich

unglücklich

22.03.2012, 16:06

toni-im-stress

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RE: absolute und bedingte Konvergenz
ist meine Frage nicht klar ?

lg

22.03.2012, 16:10

Che Netzer

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RE: absolute und bedingte Konvergenz
Hallo,

Eine konvergente Reihe ist entweder bedingt konvergent oder absolut konvergent.
Absolute Konvergenz bedeutet etwa, dass die Folgenglieder so schnell gegen 0 gehen, dass die Konvergenz der Summe nicht auf Abzüge angewiesen ist, dh. auch die Summe der Beträge konvergiert.

Beispiel:
Die harmonische Reihe, $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty\frac1n \end{eqnarray*}$ .
Die Folge 1/n geht zwar gegen 0, aber nicht schnell genug; wenn man die Folgenglieder aufsummiert, erhält man trotzdem Unendlich.
Wenn man die Glieder aber abwechselnd addiert oder subtrahiert, konvergiert die Reihe:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}n \end{eqnarray*}$ (alternierende harmonische Reihe)
Hier wird durch die negativen Werte die entsprechende Partialsumme auch geringer. Dadurch, dass man so den "Wachstum stoppt", erhält man aus einer divergenten Reihe eine konvergente.

Andere Reihen sind auch ohne negative Summanden konvergent, z.B.
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty\frac1{n(n+1)} \end{eqnarray*}$ (Teleskopreihe)
Hier geht die entsprechende Folge 1/n(n+1) schneller gegen 0 und die Summation liefert einen endlichen Wert, ohne dass man negative Glieder einbauen muss.

Natürlich ist auch $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n(n+1)} \end{eqnarray*}$ konvergent, aber bei dieser Reihe konvergiert auch die Summe der Beträge (wie oben), d.h. sie ist auch nicht auf ihre negativen Glieder "angewiesen".

Ich hoffe, das war alles verständlich...

mfg,
Ché Netzer

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22.03.2012, 16:22

Mazze

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Hab die Themen aufgrund der Antworten zusammengefügt.

@toni-im-stress

In Zukunft bitte auf Doppelposts verzichten. Insbesondere wenn schon Antworten gegeben wurden.

Siehe auch unser Boardprinzip.

22.03.2012, 17:08

toni-im-stress

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danke schön für ihre Antwort.

heißt das dass eine Reihe bedingt konvergent wenn sie auf ihre negativen Glieder "angewiesen".
beispiel:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n}n }{\sqrt{n^{5}+1 } } \end{eqnarray*}$

die Reihe konvergiert bedingt denn:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty |\frac{(-1)^{n}n }{\sqrt{n^{5}+1} }| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n }{\sqrt{n^{5}+1} } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n }{\sqrt{n^{5}+1} } \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1 }{{n^{\frac{2}{3} }\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}} } } } \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1 }{{n^{\frac{2}{3} } }} \end{eqnarray*}$ = 0
ist die Reihe in diesem Fall bedingt Konvergenz ?

lg

22.03.2012, 17:12

HAL 9000

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Zitat:

Original von toni-im-stress

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n }{\sqrt{n^{5}+1} } \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1 }{{n^{\frac{2}{3} }\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}} } } } \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1 }{{n^{\frac{2}{3} } }} \end{eqnarray*}$ = 0

Welcher Teufel hat dich denn bei diesen Umformungen geritten? geschockt

geschockt

Richtig wäre

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n}{\sqrt{n^{5}+1}} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}\sqrt{1+\frac{1}{n^5}}} \end{eqnarray*}$ ,

d.h. absolut konvergent.

22.03.2012, 17:16

Che Netzer

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n}n }{\sqrt{n^{5}+1 } } \end{eqnarray*}$

Die Reihe wäre absolut konvergent.
$\begin{eqnarray*} \frac n{\sqrt{n^5+1}}\leq\frac n{\sqrt{n^5}}=\frac1{n^{3/2}} \end{eqnarray*}$
Und die entsprechende Reihe konvergiert.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n }{\sqrt{n^{5}+1} } \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1 }{{n^{\frac{2}{3} }\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}} } } } \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1 }{{n^{\frac{2}{3} } }} \end{eqnarray*}$ = 0

Die Zeile verstehe ich überhaupt nicht...

mfg,
Ché Netzer

22.03.2012, 17:16

toni-im-stress

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ohh ja stimmt ich hab es nur falsch abgeschrieben smile

smile

wann ist meine Reihe bedingt konvergent ? und wann ist sie absolut konvergent ?

danke schön

22.03.2012, 17:18

Che Netzer

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Zitat:

Original von toni-im-stress
wann ist meine Reihe bedingt konvergent ? und wann ist sie absolut konvergent

Bedingt konvergent ist sie, wenn sie nicht mehr konvergieren würde, wenn man die Beträge summieren würde.

bedingte Konvergenz:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty a_n \end{eqnarray*}$ konvergiert, aber nicht $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty\vert a_n\vert \end{eqnarray*}$

absolute Konvergenz:
beide Reihen sind konvergent.

mfg,
Ché Netzer

22.03.2012, 17:20

toni-im-stress

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ich hab so geschrieben normalerweise soll man das ganze so schreiben :

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n }{\sqrt{n^{5}+1} } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1 }{{n^{\frac{2}{3} }\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}} } } } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1 }{{n^{\frac{2}{3} } }} \end{eqnarray*}$ = 0

smile

smile

22.03.2012, 17:25

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von toni-im-stress
ich hab so geschrieben normalerweise soll man das ganze so schreiben :

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n }{\sqrt{n^{5}+1} } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1 }{{n^{\frac{2}{3} }\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}} } } } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1 }{{n^{\frac{2}{3} } }} \end{eqnarray*}$ = 0

smile

smile

Nein, das ist auch Unsinn.
Vielleicht verwechselst du etwas:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^na_k=\sum\limits_{k=1}^\infty a_k \end{eqnarray*}$
Aber die Umformung ist sowieso falsch, $\begin{eqnarray*} \sqrt{n^5}=n^{5/2} \end{eqnarray*}$ . Woher kommt die Drei in den Nenner deines Exponenten?
Außerdem ist das nicht gleich Null.
Nicht einmal mit deinem Grenzwert davor; nur wenn du 3/2 geschrieben hättest, aber das nur nebenbei...

mfg,
Ché Netzer

22.03.2012, 17:42

toni-im-stress

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ich habe die n im zähler mit dem n im nenner nach dem ich die n vom wurzel rausgenommen habe gekürzt.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n }{n\sqrt{n^{3}+\frac{1}{n^{2} } } } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1 }{n^{\frac{3}{2} } \sqrt{1+\frac{1}{n^{5} } } } \end{eqnarray*}$

22.03.2012, 17:51

Che Netzer

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Ja, so stimmt das (mit einem Gleichheitszeichen zumindest).
Vorher hattest du deinen Exponenten verdreht.

Aber trotzdem ist die Reihe absolut konvergent Augenzwinkern

Augenzwinkern

mfg,
Ché Netzer

22.03.2012, 17:53

toni-im-stress

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danke schön smile

smile

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