Ein gebrochener Mann sucht Hilfe bei Trennung von Variablen

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Chrizz2kplus1 Auf diesen Beitrag antworten »
Ein gebrochener Mann sucht Hilfe bei Trennung von Variablen
Hi Leute Wink ,

einst (letztes Semester) hat Mathe mich interessiert und herausgefordert. Heute guck ich auf den Übungszettel und verstehe nur noch Bahnhof. Hier die Aufgabe:

Betrachte bei einer chemischen Reaktion die Menge der zu erzeugenden Substanz y. Diese wird durch die Menge der notwendigen Reagenzien a begrenzt und sei zum Startzeitpunkt t_0 = 0 ebenfalls y_0 =0.
Man unterscheidet:

a)
die chemische Reaktion erster Ordnung:

y' = k * (a-y)

b) und die chemische Reaktion zweiter Ordnung:

y' = k* (a-y)^2

Es soll irgendwie durch Trennung der Variablen geschehen, aber unser Skript strotzt nur so von griechischen Buchstaben, so dass ich komplett den Überblick und den Verstand verliere :P.
Wäre cool, wenn mir jemand helfen könnte. Danke.
Gruss

Chrizz
BraiNFrosT Auf diesen Beitrag antworten »

Also bei a) könnte ich dir vielleicht helfen :



Nun kann man das ganzen Integrieren :



Und wenn ich dir nun sage das man y' so ausdrücken kann



=> dx = dy / y'

sieht es nun so aus :



Hat dich das weiter gebracht ?
Shopgirl Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Chrizz2kplus1,

den b)-Teil kannst du analog lösen, hast halt statt a-y dann (a-y)^2 im Nenner. Das Integral wird dadurch nicht schwerer.
Chrizz2kplus1 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi BrainFrost,

Teil a) haben wir sogar im Tutorium gemacht, das hat mir trotzdem den Sachverhalt kein Stück näher gebracht, deshalb hab ich den Teil a) auch mit dazu geschrieben.
Wir hatten, bzw. unser Tutor ist 10 Minuten lang über die Tafel gewirbelt und dann stand da plötzlich so ein Kram:











Das ist äquivalent zu
e^(ln|y-a|) = e^(-k*t + C)
<=> |y-a| = e^C * e^(-k*t)
<=> y * a = e^C * e^(-k*t) oder y-a = e^(C -k*t)
<=> y = a -e^C * e^(-k*t) oder y = a + e^C * e^(-k*t)
<=> y = a + C * e^(-k*t)
Gesamtheit der Lösungen: {a + C* e^(-k*t) | }

y =
...
LOL Hammer
...
= -kCe^(-k*t)
@ Shopgirl:
Wenn ihr mir das versteht... naja...
... nach der Aufgabe a) bin ich jedenfalls auch unsicher bei b). unglücklich
Shopgirl Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Chrizz2kplus1
Teil a) haben wir sogar im Tutorium gemacht, das hat mir trotzdem den Sachverhalt kein Stück näher gebracht, deshalb hab ich den Teil a) auch mit dazu geschrieben.
Wir hatten, bzw. unser Tutor ist 10 Minuten lang über die Tafel gewirbelt und dann stand da plötzlich so ein Kram:



Da hat er aber lang gebraucht, um die DGL y' = k(a-y) umzustellen: y'/(a-y) = k und also y'/(y-a) = -k. :P

Zitat:


Das ist richtig. Da leitest du ganz normal nach t ab.

Zitat:


Richtig: Beachte die Kettenregel beim Ableiten von ln|y-a|.
Die letzte Gleichung kommt von der DGL.

Zitat:



Diese Gleichung ist also gleichwertig zur DGL.

Zitat:
Das ist äquivalent zu
e^(ln|y-a|) = e^(-k*t + C)
<=> |y-a| = e^C * e^(-k*t)
<=> -(y-a) = e^C * e^(-k*t) oder y-a = e^(C -k*t)
<=> y = a -e^C * e^(-k*t) oder y = a + e^C * e^(-k*t)
(*)<=> y = a + C * e^(-k*t)
Gesamtheit der Lösungen: {y = a + C* e^(-k*t) | }


Beachte bei (*), dass zunächst C' = +-e^C != 0 ist. Da aber y = a auch eine Lösung der DGL ist (nicht der Gleichung ln(\|y-a\|) = -k * t + C), kommt der Wert C' = 0 noch hinzu.

Zitat:
y =
...
LOL Hammer
...
= -kCe^(-k*t)


Wie kommst du nun von
y = a + C* e^(-k*t)
auf
y = -kCe^(-k*t)
?

Zitat:
@ Shopgirl:
Wenn ihr mir das versteht... naja...
... nach der Aufgabe a) bin ich jedenfalls auch unsicher bei b). unglücklich


Wir erklären es dir gern. Ich hätte die Lösung aber anders formuliert, nämlich so wie BrainFrost es getan hat.

Die DGL y' = k (a-y)^2 stellst du erstmal so um:
y' / (a-y)^2 = k.

Um nun die Funktion Y zu finden, für die gilt, musst du nach t integrieren, also
berechnen.
BraiNFrosT Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Shopgirl
(...) (...)


Müsste es nicht heissen



? Oder mach ich nun einen Denkfehler ?
 
 
MatheBlaster Auf diesen Beitrag antworten »

Edit: Genau das schrieb ich auch gerade smile
Chrizz2kplus1 Auf diesen Beitrag antworten »

:] Wink

Ihr seid echt super Leute. Cool, dass du alles Schritt für Schritt erklärst, Shopgirl. Den Teil mit
y =
...

LOL Hammer
...
=.....

da hab ich was ausgelassen, weil ich etwas unter Zeitdruck war.
Im moment bzw. heute abend habe ich leider keine Zeit mehr um mich eingehend mit der Erklärung zu beschäftigen. Ich wußte auch nicht, dass so schnell so viele Leute antworten würden. Also schon mal ein dickes fettes Dankeschön. Gott
So kriege ich es bestimmt hin. Also erstmal gute Nacht allerseits. Schläfer
Gruss

Chrizz - der Differentialnoop
Shopgirl Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo BrainFrost,

du hast keinen Denkfehler, sondern ich einen Tippfehler.
Dadurch wird das Integral ja noch einfacher smile
Chrizz2kplus1 Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Abend, meine Damen und Herren,

jetz hätte ich nochmal ne Frage:
Im Tutorium haben wir ja nun bei Aufgabe a) überhaupt nix integriert. Wieso also bei b) ? Und was sind die Integrationsgrenzen ? verwirrt
BraiNFrosT Auf diesen Beitrag antworten »

Ihr habt bei aufgabe a) doch auch integriert oder so ich das falsch ?
Wo kommt denn sonst auf einmal das k*t + C her ?
Ich sehe durch deine Gleichungskette aber leider auch nicht ganz durch.
Hast du meinen Lösungsansatz zu a) soweit verstanden ?
Wenn ja sollte b) damit auch kein Problem sein.

Integrationsgrenzen brauchst du keine, da du das unbestimmte Integral haben willst ( deine Stammfunktion ). Schliesslich willst du ja wissen wie dein y aussieht und nicht irgendwelche Werte berechnen.
Chrizz2kplus1 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi BrainFrost,

hier nochmal eben der Teil, den ich anfangs weggelassen hatte,
also, der an dieser Stelle
Zitat:

y =
...
LOL Hammer
...
= ...

fehlte


y = a + C*e^(-k*t)

d/dt e^g(t) * g'(t)

y'= 0 + C*e^(-k*t) * (-k)
= -k * C * e^(-k*tk(a-y)
= k(a-(a+C*e^(-k*t)))
= k(a - a - C*e^(-k*t))

k(-C*e^(-k*t)) = -k*C*e^(-k*t)

Also,im Tutorium haben wir weder in diesem Teil, noch in dem den ich bereits gestern gepostet hatte, integriert. Ich meine da hab ich absolut nix dagegen, weil deine Variante wesentlich einfacher aussieht als der
Gleichungssalat von meinem Tutoren. Und , dass du da auch nicht mehr durchsteigst, ist für mich natürlich vollkommen nachvollziehbar. Ist ja auch nicht so, dass ich mir das ausgedadcht hätte.

Also das meiste verstehe ich schon.
Aber wie kommt man auf das?



=> dx = dy / y'

Oder wolltest du damit nur sagen, dass y abgeleitet 1 ist ?
Ich bin von dem dx und dy etwas irritiert...unglücklich
BraiNFrosT Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Chrizz2kplus1
Also das meiste verstehe ich schon.
Aber wie kommt man auf das?



=> dx = dy / y'


Das ist nur eine andere Schreibweise für die erste Ableitung.

Hast man zB. eine Funktion für eine Fläche A (in Abhängigkeit von x) :

A(x)=x²+x

könnte man für die Ableitung schreiben, entweder A'(x)= (nicht so toll)

oder

Also wäre


Du hast eine Funktion y'

dafür würde dann analog gelten

Wobei ich x als Variable genommen habe, ihr im Tutorium aber t.
Kannst in meinem Beispiel aber gern alle x durch ein t ersetzen.

Das ich durch deine Mitschrift nicht ganz durchgestiegen bin liegt zum einen daran, dass die vielen Gleichheitszeichen in einer Reihe doch etwas verwirrend sind. Zum anderen hab ich (leider) noch gar nicht angefangen zu
studieren. Ich hab aber diese Art von DGL nur in der Schule behandelt.

Vielleicht hat der Tutor ja auch integriert, ohne diesen Schritt aufzuschreiben. Die dt's sind ja plötzlich verschwunden : )
Ich kanns dir jedenfalls nur so erklären wie ich es kenne traurig

Vielleicht hilft das ja auch
Viele Grüße Wink Brainfrost
Chrizz2kplus1 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo nochmal,

langsam fange ich ja nu an einige Sachen zu verstehen, aber grade wenn ich denke "Juhu, das sieht richtig aus" , fällt mir wieder irgendwas auf, was doch falsch ist. traurig

Wir sollen den Zusammenhang zwischen der erzeugten Menge y zum Zeitpunkt t in einem Koordinatensystem darstellen, aber immer wenn ich ein paar Werte einsetze kommt irgendein Quatsch raus, der gar nicht stimmen kann.
Vielleicht mal ne Frage von vorherein:
Wenn ich folgendes ausgerechnet habe,

y = a + C*e^(-k*t)

dann setze ich das in die Gleichung der chemischen Reaktion ein?
Also

y' = k * (a- (a + C*e^(-k*t)))
= k * (a - a - C*e^(-k*t))
= -kCe^(-k*t)

für k hab ich ja 0,01 gegeben und wenn ich dann für C = 1 nehme, dann bekomme ich irgendwelche negativen, winzigkleinen Zahlen heraus. Wie kann das richtig sein, wenn ich eigentlich was herauskregen müsste, was zwischen 0 und 100 liegt ??? X(
MatheBlaster Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

ist das noch die gleiche Aufgabe, die Du ganz am Anfang des Threads hattest? Falls ja, wurde ja dort eine Anfangsbedingung gegeben, mit der Du C bestimmen kannst.

Falls das nicht der Fall sein sollte, Du aber trotzdem was zeichnen willst, geht man eigentlich folgendermaßen vor:
Du suchst Dir einen (sinnvollen) Punkt in deinem Koordinatensystem mitsamt x- und y-Wert. Die beiden Werte setzt Du in deine Lösung für y(x)=.... ein, wodurch Du C erhälst. In deinem Fall ist das natürlich alles etwas haarig mit den ganzen anderen Variablen.
Wie dem auch sei, wenn Du dann C hast, setzt Du y und x in die erste Ableitung y'(x) ein, und erhälst die Steigung an dem Punkt. Wenn man das oft genug macht, erhält man ein sogenanntes Richtungsfeld. Anschaulich gibt's das ganze zum Beispiel hier (Richtungsfelder).
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