Zentrum von S_n hat Ordnung 1

22.03.2012, 21:41

Slash123

Zentrum von S_n hat Ordnung 1

Hallo,

ich versuche mich gerade selbstständig anhand eines Buches in die Algebra II einzuarbeiten, welche mit ein wenig Gruppentheorie beginnt. Könnten also in Zukunft mehrere Themen von mir kommen.

Folgende Aufgabe:

Show that if $\begin{eqnarray*} n \geq 3 \end{eqnarray*}$ , then the center of $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ is of order 1.

Das Zentrum C(a) für ein Element a ist dabei die Menge aller Elemente, die mit a kommutieren. Das Zentrum einer Menge M ist definiert durch $\begin{eqnarray*} C(M) := \bigcap_{a \in M} C(a) \end{eqnarray*}$ .

Ich muss also zeigen, dass $\begin{eqnarray*} |C(S_n)| = 1 \end{eqnarray*}$ . Da das Einselement immer im Zentrum enthalten ist, muss ich zeigen, dass $\begin{eqnarray*} C(S_n) \end{eqnarray*}$ nur aus der Identität besteht. Ich vermute, dass $\begin{eqnarray*} C(\sigma) \end{eqnarray*}$ für eine Permutation $\begin{eqnarray*} \sigma \in S_n \end{eqnarray*}$ nur aus $\begin{eqnarray*} id, \sigma, \sigma^{-1} \end{eqnarray*}$ besteht. Wenn das wahr ist, würde die Behauptung folgen. Diese drei Elemente sind trivialerweise immer im Zentrum eines Elements; nur wie zeige ich, dass das die einzigen sind? Und stimmt das überhaupt?

Vielen Dank für jegliche Hilfe im Voraus.

22.03.2012, 21:59

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Vermutung ist nicht richtig. Z.b. kommutieren (12) und (34).

Aber du musst ja nur eine viel schwächere Sache zu zeigen:

Du musst zu jeder nichttrivialen Permutation eine Permutation finden, die nicht mit ihr vertauscht.

Schickt z.b. eine Permutation die 1 nicht auf die 1, sondern sagen wir mal auf die 2.

Dann nehmen wir einfach eine Permutation, die 1 auf 1, aber 2 nicht auf 2, sondern z.b. 3 schickt (Hier merkt man, dass n mind. 3 sein muss)

Dann gilt für die Hintereinanderausführung je nach Reihenfolge:

$\begin{eqnarray*} 1 \mapsto 1 \mapsto 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 \mapsto 2 \mapsto 3 \end{eqnarray*}$

Das musst du jetzt nur noch verallgemeinern (Eigentlich ist das der besprochene Fall schon der wesentliche)

25.03.2012, 12:38

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von tmo
Deine Vermutung ist nicht richtig. Z.b. kommutieren (12) und (34).

Man könne hier auch darauf hinweisen, dass ja in jedem Fall $\begin{eqnarray*} \sigma^2 \in C(\sigma) \end{eqnarray*}$ gilt, was für alle $\begin{eqnarray*} \sigma \in S_n \end{eqnarray*}$ , deren Ordnung größer als 3 ist, die Behauptung bereits wiederlegt...

Manchmal muss man schon staunen, auf welch seltsame Ideen die Leute kommen, aber vielleicht ist man auch selbst naiv und es steckt einfach nur die Absicht dahinter, den Leser aus der Reserve zu locken, indem dieser dann zeigt wie's richtig geht... verwirrt

Edit: Etwas schwieriger ist schon die Frage, welche Permutationen wirklich in $\begin{eqnarray*} C(\sigma) \end{eqnarray*}$ liegen... Für den Fall, dass sich jemand daran versuchen möchte, verrate ich die Antwort noch nicht...

Zitat:

Original von tmo
Aber du musst ja nur eine viel schwächere Sache zu zeigen:

Du musst zu jeder nichttrivialen Permutation eine Permutation finden, die nicht mit ihr vertauscht.

Schickt z.b. eine Permutation die 1 nicht auf die 1, sondern sagen wir mal auf die 2.

Dann nehmen wir einfach eine Permutation, die 1 auf 1, aber 2 nicht auf 2, sondern z.b. 3 schickt (Hier merkt man, dass n mind. 3 sein muss)

Dann gilt für die Hintereinanderausführung je nach Reihenfolge:

$\begin{eqnarray*} 1 \mapsto 1 \mapsto 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 \mapsto 2 \mapsto 3 \end{eqnarray*}$

Das musst du jetzt nur noch verallgemeinern (Eigentlich ist das der besprochene Fall schon der wesentliche)

Ich formuliere diesen Beweis mit der gleichen Idee immer so: Ist $\begin{eqnarray*} \sigma \in S_n \end{eqnarray*}$ nicht die identische Abbildung, so gibt es dann Elemente $\begin{eqnarray*} x,y \in \{1,2,\ldots,n\} \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} \sigma(x)=y \ne x \end{eqnarray*}$ . Ist dann z ein weiteres Element mit $\begin{eqnarray*} z \ne x, z\ne y \end{eqnarray*}$ , welches man für $\begin{eqnarray*} n \ge 3 \end{eqnarray*}$ sicher finden kann, so ist $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ dann mit der Transposition $\begin{eqnarray*} \tau =(yz) \end{eqnarray*}$ nicht vertauschbar, d.h., $\begin{eqnarray*} \sigma \not \in Z(S_n) \end{eqnarray*}$ ... Aber da geht es jetzt wirklich nur mehr um Nuancen... Augenzwinkern

PS: OT möchte ich noch erwähnen, dass mein Computer, wenn ich hier im Editor bin, fast regelmäßig nach einiger Zeit einen Neustart macht... Mein Browser (Mozilla Firefox) stellt dann nach dem Neustart alles wieder her, ärgerlich ist es aber trotzdem... Geht das anderen genauso?

30.03.2012, 19:42

Slash123

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich möchte mich hier noch mal öffentlich dafür entschuldigen, dass ich auf diesen Thread trotz zweifacher sehr guter Hilfe nicht mehr geantwortet habe. Ich bin euch beiden sehr dankbar für eure Antworten und möchte nicht, dass es anders rüberkommt. Wie die Aufgabe zu lösen ist, ist ja spätestens nach Mystics Antwort klar.

Bemerkung am Rande, wieso ich mich genau jetzt melde:
Ich habe diesen Thread erst gestern wieder gesehen und fand, dass Mystics Antwort ein wenig rau rüberkommt, zumindest wirkte sie auf mich so, da ich ja derjenige bin, an den sie gerichtet ist. Habe ihm deswegen eine private Nachricht geschrieben und er meinte in der Antwort unter anderem, dass er es nicht gut finde, dass ich ihm eine Nachricht wegen einer Randbemerkung schicke, mich aber nicht mehr auf den Thread melde. Ich finde, dass er Recht hat und deswegen melde ich mich jetzt hier noch mal zu Wort und betone es nochmals: ein großes Danke!

30.03.2012, 20:20

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Gern geschehen... Augenzwinkern

Wenn meine Antwort oben etwas "rau rüberkam", dann wohl auch deshalb, weil ich zu diesem Zeitpunkt - als 3 Tage nach der Frage und der kurz darauf erfolgten Antwort von tmo - davon ausging, dass der Threadersteller, wie so oft, ohnehin schon verschollen ist und er daher auch gar nicht liest, was ich da schreibe, was sich ja dann leider (oder gottseidank!) als falsch herausgestellt hat... Big Laugh

Neue Frage »

Antworten »

Zentrum von S_n hat Ordnung 1

Verwandte Themen