Cauchy-Folgen und metrische Räume

22.03.2012, 23:07	meister_quitte	Auf diesen Beitrag antworten »
Cauchy-Folgen und metrische Räume Hallo Leute, ich bereite mich gerade auf mein nächstes Semster vor und bräuchte eure Hilfe. Leider kann ich das Aufgabenblatt via Latex nicht hier reinstellen, weil es aus unerfindlichern Gründen nicht klappt. Ich bitte daher um Verständnis. BIsher habe ich von der 1.4 a) i) und b) Nun zu meinem Rechenweg. a) ii) Sei $\begin{eqnarray} f_k ( x ) = f_n ( x ) = 1 \Rightarrow \left\| 1 - 1 \right\| = 0 < \epsilon \end{eqnarray}$ Also $\begin{eqnarray} \forall \epsilon > 0 \exists N_\epsilon : N_\epsilon > n \geq k \end{eqnarray}$ Das gilt erst recht für 1>x-k>0. Ist das so korrekt? Liebe Grüße Christoph
22.03.2012, 23:25	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cauchy-Folgen und metrische Räume Hallo, deine Vermutung ist bestimmt, dass die Folge gegen die Nullfunktion konvergiert (wenn überhaupt). Jetzt musst du die angegebene Norm benutzen: $\begin{eqnarray} \sup\limits_{x\in[0,\infty)}e^{-x}\vert f_k(x)-0\vert \end{eqnarray}$ soll gegen 0 (für k gegen Unendlich) gehen. mfg, Ché Netzer
23.03.2012, 01:42	meister_quitte	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Che, wie kommst du denn auf eine Nullfkt. bzw. 0? Soweit ich noch weiß kann man mit Cauchy-Folgen Funktionen in $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ auf ihr Konvergenzverhalten prüfen, ohne deren Grenzwert zu kennen. Du musst wissen, dass ich etwas aus der Routine bin mit der Anwendung von Cauchy-Folgen. Liebe Grüße Christoph
23.03.2012, 07:39	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Wer sagt denn etwas von Cauchy-Folgen? Du weißt noch gar nicht, ob dein Raum vollständig ist, also kann es Cauchy-Folgen geben, die nicht konvergieren. Daher solltest du zeigen, dass es eine Funktion gibt, sodass der Abstand gegen 0 geht und das könnte die Nullfunktion sein. mfg, Ché Netzer
25.03.2012, 08:20	meister_quitte	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Che, X ist doch als Raum von stetigen, aber beschränkten Funktionen angegeben. Warum muss ich das denn noch näher begründen? $\begin{eqnarray} f: [0, \infty [ \to \mathbb R \end{eqnarray}$ Liebe Grüße Christoph
25.03.2012, 11:27	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du zeigen willst, dass die Folge konvergiert, brauchst du den Grenzwert. Du weißt ja nicht, ob der Raum mit der gegebenen Metrik vollständig ist. Anders gesagt: Du möchtest zeigen, dass die Folge eine Cauchy-Folge ist. Damit könntest du aber noch nicht auf Konvergenz schließen. Stattdessen suchst du dir einen (möglichen) Grenzwert und zeigst, dass der Abstand der Folgenglieder zu diesem Grenzwert gegen 0 geht. mfg, Ché Netzer
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28.03.2012, 03:47	meister_quitte	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Che, $\begin{eqnarray} [0, \infty [ \subset \mathbb R \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ ist vollständig, weil es überabzählbar viele Elemente gibt. Warum ist dann X nicht vollständig? Liebe Grüße Christoph
28.03.2012, 09:12	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ ist aber auch nicht mehr vollständig, wenn man die Metrik $\begin{eqnarray} d(x,y)=\arctan\vert x-y\vert \end{eqnarray}$ verwendet. Und X ist ein Raum von Funktionen. Du kannst nicht einfach behaupten, er sei mit dieser Metrik vollständig und das mit "Warum nicht?" begründen. (Die Tatsache, dass es überabzählbar viele Elemente gibt, hat im allgemeinen nichts mit Vollständigkeit zu tun)

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