Riemann Integrierbar

21.01.2007, 10:28

goldnerbagger

Riemann Integrierbar

Ich habe eine Funktion f:[-1,1] abgebildet auf R mit folgenden Eigenschaften

$\begin{eqnarray*} f(x) := \begin{cases}-1, & \text{ falls } -1 \leq x \leq 0 \\x, & \text{ falls } 0 < x \leq 1 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Es soll gezeigt werden, dass die Funktion Riemann-integrierbar sind und zwar mit folgender Definition:

"Eine Funktion heißt Riemann-integrierbar über einem Intervall, wenn es zu jedem epsilon >0 Treppenfunktionen f1, f2 gibt, so dass gilt

f1<f<f2 und das Integral (f1-f2)<epsilon.

Der Grundgedanke der Treppenfunktionen, die ja entstehen, wenn ich beliebig viele Zerlegungen des Intervalles tätige, ist mir klar. Aber die Umsetzung ins Mathematische nicht. Für Hilfe und Ideen bin ich sehr dankbar.

edit (Abakus): Latex, Definition von f

21.01.2007, 14:10

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Riemann Integrierbar

Zitat:

Original von goldnerbagger
Es soll gezeigt werden, dass die Funktion Riemann-integrierbar sind und zwar mit folgender Definition:

"Eine Funktion heißt Riemann-integrierbar über einem Intervall, wenn es zu jedem epsilon >0 Treppenfunktionen f1, f2 gibt, so dass gilt

f1<f<f2 und das Integral (f1-f2)<epsilon.

Dann startest du wie folgt:

Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ . Gebe nun Treppenfunktionen $\begin{eqnarray*} f_1, f_2 \end{eqnarray*}$ an, so dass die gewünschten Eigenschaften gelten.

Dazu musst du ggf. etwas experimentieren (für den Anfang nimm 2 naheliegende Treppenfunktionen und überlege dann weiter).

Grüße Abakus smile

22.01.2007, 15:13

brain man

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Riemann Integrierbar

Zitat:

Dazu musst du ggf. etwas experimentieren (für den Anfang nimm 2 naheliegende Treppenfunktionen und überlege dann weiter).

Du kannst $\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{0}~f(x_{1})~dx -\int_{0}^{1}~f(x_{2})~dx < \epsilon \end{eqnarray*}$ dann für beliebig kleine $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ erreichen.

Neue Frage »

Antworten »

Riemann Integrierbar

Verwandte Themen