Schätzer Erwartungswert

Neue Frage »

Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
Schätzer Erwartungswert
Meine Frage:
Hallo, als Schätzer für den Erwartungswert nimmt man ja i.d.R. das arithmetische Mittel.

Das macht man, weil es gute Eigenschaften hat.

1.) Erwartungstreue

2.) schwache Konsistenz

3.) starke Konsistenz

4.) geeignet standardisiert ist es standardnormalverteilt


Ich habe zwei Fragen:

(i) Was genau ist der Unterschied zwischen schwacher und starker Konsistenz?

(ii) Ist das arithmetische Mittel auch suffizient?

Meine Ideen:
Zu (i):

Man sagt doch, daß ein Schätzer "schwach konsistent" ist, wenn er in Wahrscheinlichkeit konvergiert, d.h. wenn ich jetzt mal mit



das arithmetische Mittel benenne, so gilt:




Die starke Konsistenz bedeutet, daß das arithmetische Mittel fast sicher gegen den Erwartungswert konvergiert, also



Doch was genau ist jetzt der Unterschied?

Es fällt mir schwer, die Konzepte inhaltlich zu verstehen und die Unterschiede zu benennen.


Zu (ii):

Kann man die Frage nach der Suffizienz des arithmetischen Mittels so eindeutig beantworten? Hängt das nicht immer davon ab, in welchem Modell man sich gerade befindet?
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

zu i)

Hallo,

du schreibst:

Zitat:
Die starke Konsistenz bedeutet, daß das arithmetische Mittel fast sicher gegen den Erwartungswert konvergiert


Wenn ich mir die Formel für die starke Konsistenz anschaue, dann steht da ja eigentlich, dass sicher (P = 1) das arithmetische Mittel zum Erwartungswert konvergiert. Und zwar so, dass dann ist. Dies gilt aber nur für .

Bei der schwachen Konsistenz ist aber . Es bleibt immer eine Differenz zwischen und .
 
 
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Mir ist ein bisschen schleierhaft, was Du meinst...
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

starke Konsistenz:

Es ist SICHER, dass das arithmetische Mittel gegen den Erwartungswert konvergiert und zwar ohne Abweichung für .

schwache Konsistenz:

Es ist SICHER, dass das arithmetische Mittel gegen den Erwartungswert konvergiert mit der Abweichung für .

Einmal sicher keine Abweichung, ein anderes mal sicher eine Abweichung.

Mit freundlichen Grüßen
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ist das der einzige Unterschied?
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Mehr Unterschiede zwischen schwacher und starker Konvergenz sind mir nicht bekannt.

Mit freundlichen Grüßen
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich finde diesen Unterschied irgendwie noch nicht so zufriedenstellend (oder ich verstehe ihn nicht in ganzer Fülle).

Irgendwie dachte ich, es gäbe da signifikantere Unterschiede.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht hier doch im Grunde genommen um den Unterschied zwischen stochastischer ("schwach") und fast sicherer ("stark") Konvergenz. Den begreift man am besten, indem man sich mal das Beispiel einer Folge ansieht, die schwach, aber nicht stark konvergiert:

Wahrscheinlichkeitsraum , darauf die Borelsche Sigma-Algebra sowie das Lebesguemaß als W-Maß sowie die Zufallsgrößen

für und .

Diese Folge konvergiert stochastisch gegen , denn für sowie ist dann



womit folgt, also stochastische Konvergenz.


Hingegen gilt für kein einziges die punktweise Konvergent , da immer wieder (und zwar jeweils für genau ein im Index-Intervall ) der Wert auftaucht. Also keine fast sichere Konvergenz - im Gegenteil kann man sogar sagen nirgends Konvergenz, also . Augenzwinkern
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich danke für das Beispiel.

Es geht mir jedoch darum, in Worten sagen zu können, was der Unterschied ist.

Mal angenommen, jemand würde mich in einer mündlichen Prüfung fragen, was denn der Unterschied ist, zwischen schwacher und starker Konsistenz: Was könnte ich dann antworten?


Sicher ist es toll, wenn man ein Beispiel weiß, aber wie ließe sich das "in Worten" beantworten?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann ja vielleicht auch mal das Beispiel tiefer analysieren und daraus seine Schlüsse ziehen.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Das versuche ich natürlich, aber es gelingt mir nicht.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komme da wirklich nicht weiter, ich würde mich freuen, wenn Du mir evtl. nochmal helfen würdest.
vivo Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

hab Dir ne Antwort in dem Forum geschrieben in dem Du die Frage auch noch gestellt hast. Bin zu faul dass hier nochmal einzustellen. Crosspost bitte in Zukunft als solche auszeichnen.

Grüße
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst einen anderen User meinen!

Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
vivo Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt nicht siehe unten.
vivo Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

fast sichere Konvergenz bedeutet, dass die Folge bis auf Nullmengen in diesem Fall gegen den Erwartungswert konvergiert

stochastische Konvergenz bedeutet "nur", dass die Wahrscheinlichkeit, dass die [latex]\mu_n[\latex] sehr nahe an [latex]\mu[\latex] sind gegen 1 konvergiert, weshalb aber die Folge nicht für ein einziges [latex]\omega[\latex] gegen [latex]\mu[\latex] konvergieren muss.

Andererseits folgt aus der fast sicheren Konvergenz natürlich die stochastische.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »