Isomorphie von aberschler Gruppe aufgrund der Ordnung

23.03.2012, 13:38

Philipp Imhof

Isomorphie von aberschler Gruppe aufgrund der Ordnung

Hallo!

Bei einer Aufgabe sollten wir die Struktur einer elliptischen Kurve berechnen. Die Kurve hat 24 Elemente. In der Musterlösung steht, dass sie darum Isomorph zu Z/24Z oder zu (Z/2Z)x(Z/12Z) ist.

Warum kann sie nicht isomorph zu (Z/3Z)x(Z/8Z) oder zu (Z/4Z)x(Z/6Z) sein? Oder gar zu (Z/2Z)x(Z/2Z)x(Z/2Z)x(Z/3Z)?

Danke & Gruss

EDIT: Vielleicht noch als Ergänzung: Im weiteren Verlauf der Musterlösung wird dann mit den Ordnungen der Elemente argumentiert, sodass letztlich klar ist, welche Struktur vorliegt. Meine Frage ist also nicht, warum es nicht eine der alternativen Möglichkeiten ist, sondern vielmehr warum man die schon von vornherein ausschliessen kann.

23.03.2012, 13:48

galoisseinbruder

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Du hast Recht allein aufgrund der Mächtigkeit kann man das nicht folgern. Aber da hast hier durchaus mehr Struktur.
Was ist denn die Kurve, was der Körper?

23.03.2012, 13:54

Philipp Imhof

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Es ist eine Elliptische Kurve über dem Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb F_{23} \end{eqnarray*}$ , und zwar
$\begin{eqnarray*} E(-1,0,\mathbb F_{23})=\{ (x,y)\mid y^2=x^3-x\}\cup\{\mathcal O\} \end{eqnarray*}$

23.03.2012, 14:38

galoisseinbruder

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Das ist jetzt eine Frage der sätze die dir bekannt sind:
Sehr schnell geht es mit: $\begin{eqnarray*} E[\mathbb F_p] \cong C_m\times C_{mn} \end{eqnarray*}$
mit gcd(p,m)=1, $\begin{eqnarray*} p\equiv 1 \mod m \end{eqnarray*}$
Alternativ:
Es ist $\begin{eqnarray*} E[q^n] \end{eqnarray*}$ isomorph zu einer Untergruppe von $\begin{eqnarray*} C_{q^n} \times C_{q^n} \end{eqnarray*}$ (für $\begin{eqnarray*} q\neq p \end{eqnarray*}$ , q prim).

Wobei ich auch über die Antwort der Musterlösung etwas verwirrt bin, ich sehe bereits 2 2-Torsionspunkte.

23.03.2012, 15:02

Philipp Imhof

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Ich Depp, natürlich hast du Recht. Habe soeben im Skript etwas gefunden: Sei E(a,b,K) eine elliptische Kurve über einem endlichen Körper mit der Charakteristik >3 oder =2, dann ist
$\begin{eqnarray*} E(a,b,\mathbb K)\simeq (\mathbb Z/d_1\mathbb Z)\times (\mathbb Z/d_2\mathbb Z) \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} d_1\mid d_2 \end{eqnarray*}$ gilt. Und ausdrücklich erwähnt ist noch, dass der Fall d_1=1 erlaubt ist, d.h. dass E(a,b,K) zyklisch sei.

Allerdings wurde der Satz bei uns im Kurs nicht bewiesen.

Vielen Dank für deine Hilfe. Nächstes Mal sollte ich einfach nochmal besser nachlesen.

23.03.2012, 16:24

Mystic

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RE: Isomorphie von aberschler Gruppe aufgrund der Ordnung

Zitat:

Original von Philipp Imhof
Hallo!

Bei einer Aufgabe sollten wir die Struktur einer elliptischen Kurve berechnen. Die Kurve hat 24 Elemente. In der Musterlösung steht, dass sie darum Isomorph zu Z/24Z oder zu (Z/2Z)x(Z/12Z) ist.

Warum kann sie nicht isomorph zu (Z/3Z)x(Z/8Z) oder zu (Z/4Z)x(Z/6Z) sein? Oder gar zu (Z/2Z)x(Z/2Z)x(Z/2Z)x(Z/3Z)?

Seltsame Frage angesichts der Tatsachen, dass

1. (Z/3Z)x(Z/8Z) isomorph zu Z/24Z ist und
2. genau aus diesem Grund bereits bei der Aufzählung der abelschen Gruppen der Ordnung n üblicherweise eine Systematik eingehalten wird, bei der man nur die Gruppen

$\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/(d_1 \mathbb Z) \times \mathbb{Z}/(d_2 \mathbb Z) \times \ldots \times \mathbb{Z}/(d_r \mathbb Z) \end{eqnarray*}$

berücksichtigt, wobei $\begin{eqnarray*} d_1|d_2|\ldots |d_r \end{eqnarray*}$ eine Teilerkette von n ist, sodass $\begin{eqnarray*} n=d_1 \cdot d_2 \cdot \ldots \cdot d_r \end{eqnarray*}$ gilt. Noch nie gesehen? Für elliptische Kurven hat man eben hier nur den Spezialfall, dass r höchstens 2 sein kann und überdies $\begin{eqnarray*} d_1|q-1 \end{eqnarray*}$ gelten muss, wenn $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_q \end{eqnarray*}$ der betrachtete Körper ist. Insbesondere muss also q nicht prim sein, wie in dem Beispiel hier und auch die Voraussetzung $\begin{eqnarray*} ggT(d_1,q)=1 \end{eqnarray*}$ von galosseinbruder ist klar überflüssig, wiewohl erfüllt...

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