Extremalprobleme

23.03.2012, 14:07	Alfred Gäbeli	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremalprobleme Meine Frage: Aus 80cm Draht wird das Kantenmodell einer geraden quadratischen Pyramide mit maximalem Volumen hergestellt. Wie lang sind die Grundkanten? Meine Ideen: Ich nenne die Grundkanten a. Die diagonale der Grundfläche d. Die höhe h und die Seiten s. Hauptbedingungen: $\begin{eqnarray} V= \frac{1}{3}a^2h \end{eqnarray}$ Nebenbedingungen: $\begin{eqnarray} 80=4a+4s <br /> s=20-a<br /> d= a\sqrt{2}<br /> h^2= s^2-\frac{a\sqrt{2} }{2}<br /> h^2= (20-a)^2 -\frac{a\sqrt{2} }{2}<br /> h = ((20-a)^2 -\frac{a\sqrt{2} }{2})^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$ also eingesetzt in die Hauptbedingung, die Ableitung von: $\begin{eqnarray} V_{max}=\frac{1}{3} a^2((20-a)^2 -\frac{a\sqrt{2} }{2})^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ Habs mit dem TR Abgeleitet und dann gegen null gesetzt. Ohne Erfolg. Die richtige Lösung ist 9.3cm. Kann jmd. bitte den Fehler suchen oder (besser noch) Tipps zu einem eleganteren Lösungsweg geben? Herzlich AlfG
23.03.2012, 14:22	Gualtiero	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremalprobleme Ich bin noch dabei, zu Ende zu rechnen. Aber ich meine einen Fehler gefunden zu haben. $\begin{eqnarray} d=a \cdot \sqrt{2} \quad \text{.\,.\,.\,.\,korrekt} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{aber:} \quad h^2 = s^2 - \left(\frac{d}{2}\right)^2 \end{eqnarray}$
23.03.2012, 14:28	Integralos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaub du hast ein Quadrat vergessen. Es muss heißen: $\begin{eqnarray} h² = s² - (\frac{a\sqrt[]{2}}{2})² \end{eqnarray*}$
23.03.2012, 14:42	Alfred Gäbeli	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} h^2 = ((20-a)^2 -(\frac{a\sqrt{2} }{2})^2)<br /> h^2 = 400-40a+a^2-\frac{1}{2} a^2<br /> h^2= \frac{1}{2} a^2 -40a+400<br /> h= ( \frac{1}{2} a^2 -40a+400)^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$ so. jetzt sollte es stimmen. Dann wäre $\begin{eqnarray} V_{max}=\frac{1}{3} a^2( \frac{1}{2} a^2 -40a+400)^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$ also Produkt und Kettenregel zum Ableiten. Wird mir aber zu kompliziert um ohne TR zu rechnen. Hehe mit TR wars aber ein Erfolg. Er spuckt 3 Lösungen aus. a=0 und a=9.296 sowie 57.370 Super! Recht herzlichen Dank auch!

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