Parabeln, Scheitelpunkt, Nullstellen

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23.03.2012, 15:29	Cravour	Auf diesen Beitrag antworten »
Parabeln, Scheitelpunkt, Nullstellen Meine Frage: Hallo , es wäre nett, wenn mir jemand mit dieser Aufgabe helfen könnte: Die Form der Parabel ist bei gleicher Ausströmungsgeschwindigkeit und gleicher Höhe der Schlauchdüse vom Steigungswinkel abhängig. 1) Zeichne die Funktionsgraphen in ein Koordinatensystem. 2) Bestimme für jeden Wasserbogen die größte Höhe und die Entfernung, nach der das Wasser auf die Erde trifft. $\begin{eqnarray} \alpha = 30° \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -> f(x)=-0,1x²+0,6x+1,5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \alpha = 45° \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -> g(x)=-0,15x²+x+1,5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \alpha = 60° \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -> h(x)=-0,3x²+1,7x+1,5 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Zu 1) Ich könnte doch alle Funktionsgleichungen in die Scheitelpunktform bringen, den Scheitelpunkt ablesen und die Nullstellen berechnen. Oder geht es hier auch mit einer Wertetabelle? . Zu 2) Bei der Aufgabe verwirren mich die Winkel. Ich weiß gar nicht, was genau die angeben. Aber hier muss ich ja die Nullstellen und den Scheitelpunkt herausfinden, oder?
23.03.2012, 15:38	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
1) Wenn eine Zeichnung gefordert ist, ohne das vorher irgendwelche Punkte erfragt werden, dann reicht eine Wertetabelle aus. 2) Richtig, hier geht es um die Berechnung des Scheitelpunktes und der Nullstelle der drei Funktionen. Der Winkel hat für deine Rechnung keine Bedeutung.
23.03.2012, 15:38	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Moin Cravour. In der Physik nicht aufgepasst? Es macht einen Unterschied wie du den Schlauch hebst, wie weit der Strahl reicht. Das wird dir hier gezeigt . 1) Wie du willst, bzw. wie genau die Zeichnung verlangt ist. 2) Für den Winkel siehe obigen Text, aber sonst: Ja . Edit: Deine Helferlein .
23.03.2012, 15:43	Cravour	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke ihr zwei . Aufgabe 1) ist mir jetzt klar, aber bei 2) weiß ich immer noch nicht, wie ich das einzeichnen soll. Die Winkel meine ich . Wo an der Parabel muss ich den Winkel abtragen?
23.03.2012, 15:47	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Wo steht da, dass Du den Winkel eintragen sollst? Wenn Du es trotzdem machen möchtest, empfehle ich drei verschiedene Zeichungen, da es ansonsten schlecht zu erkennen sein wird, welche Kurve Du betrachtest. Der Winkel ist ja gerade der, in dem das Wasser austritt, er ist also "am Anfang" des Strahls zu zeichnen, was bei Dir dem Schnittpunkt mit der y-Achse entspricht.
23.03.2012, 15:50	Cravour	Auf diesen Beitrag antworten »
Irgendwie verstehe ich das nicht . Die Steigung bei der Parabel ist doch nicht überall gleich? Oder soll ich den Winkel nur am ersten Punkt einzeichnen?
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23.03.2012, 15:51	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Eben, es ist ja nur der Austrittswinkel. Sofort danach wirkt die Schwerkraft auf den Strahl und der Winkel ändert sich. Er liegt also nur am Schnittpunkt mit der y-Achse vor.
23.03.2012, 15:51	Cravour	Auf diesen Beitrag antworten »
Heißt das dann, dass der Winkel = Streckfaktor ist?
23.03.2012, 15:57	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, Gleichheit gilt hier nicht. Denk Dir beispielsweise einen 90°-Winkel. Dann würde der Strahl senkrecht nach oben gehen, was nicht mal mehr eine Parabel ist, geschweige denn eine Parabel der Form $\begin{eqnarray} y=-90x^2+... \end{eqnarray}$ Der Winkel hat aber in der Tat Einfluß auf den Streckfaktor der Parabel. Ich habe aber meine Zweifel, ob Dir diese Information für Deine Aufgabe hilft (Auch wenn ich weiss, dass Du gerne mal ein paar weitere Hintergründe erfragst, was ja grundsätzlich auch gut ist). Um den Winkel noch etwas transparenter zu machen: Angebommen wir haben einen 0°-Winkel. In welche Richtung verläuft dann der Wasserstrahl beim Austritt?
23.03.2012, 15:59	Cravour	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist immer wieder interessant, neues zu lernen . Hm, parallel zur x-Achse?
23.03.2012, 16:00	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Ganz genau und bei 45°?
23.03.2012, 16:02	Cravour	Auf diesen Beitrag antworten »
Öhm.. Ich glaube der Anfang der Kurve würde wie eine Ursprungsgerade aussehen. Also weder senkrecht noch waagerecht, so mittig eben .
23.03.2012, 16:04	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Schonmal nicht schlecht. Könntest Du das auch noch ein wenig genauer sagen? Welche Steigung hätte die Kurve am Anfang oder wie ändert sich y im Verhältnis zu x?
23.03.2012, 16:07	Cravour	Auf diesen Beitrag antworten »
Weiß nicht so recht, wie ich das ausdrücken kann.. Aber das wäre doch eine Normalparabel, das würde heißen die Parabel hätte am Anfang eine Steigung von 1 .
23.03.2012, 16:10	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau und das bedeutet, dass sich x und y in gleichem Maß ändern (natürlich nur am Anfang, wir haben ja schließlich eine Parabel und keine Gerade). Der Austrittswinkel ist also nichts anderes als der Steigungswinkel der Tangente im Punkt $\begin{eqnarray} (0/f(0)) \end{eqnarray}$
23.03.2012, 16:12	Cravour	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, verstehe.. Danke . Ich löse mal schnell die Aufgabe, kannst du danach mein Ergebnis überprüfen?
23.03.2012, 16:14	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Kommt darauf an, wie lange Du für die Aufgaben benötigst Ich bin noch ca. 30 Minuten hier.
23.03.2012, 16:15	Cravour	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, dann werde ich mich mal beeilen .
23.03.2012, 16:27	Cravour	Auf diesen Beitrag antworten »
Für f(x) habe ich den Scheitelpunkt S(3 l 2,4) und Nullstelle bei N(7,9 l 0). Aber ich habe es einfach von dem Koordinatensystem abgelesen, also ist die Nullstelle vielleicht etwas ungenau.
23.03.2012, 16:34	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieht von den Werten her ok aus, aber das kannst Du bestimmt noch genauer, oder? Als Anhaltspunkt einmal die drei Kurven:
23.03.2012, 16:39	Cravour	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, noch genauer? Dafür müsste ich es ausrechnen .
23.03.2012, 16:41	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Na das ist doch bei 2) auch gefordert. 1) hab ich Dir ja nun schon präsentiert.
23.03.2012, 16:42	Cravour	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, ich dachte ich soll es bei 2) einfach aus dem Koordinatensystem ablesen :P. Okay, dann rechne ich das aus .
23.03.2012, 16:49	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann schmeiss ich zwischenzeitlich noch etwas Zusatzwissen in den Raum, um den Zusammenhang Winkel/Kurve noch einmal etwas zu erläutern: Auf den Streckfaktor haben Winkel und Austrittsgeschwindigkeit einen Einfluß. Den Koeffizienten vor dem x beeinflußt aber ausschließlich der Winkel. Um das zu überprüfen, kannst Du - wenn Du mit deiner Rechnung durch bist - ja noch einmal den Tangens der drei Winkel ausrechnen und mit den Werten vor dem x vergleichen. (Je nach Taschenrechner entweder Winkel eintippen und dann tan drücken, oder umgekehrt, sofern Dein Taschenrechner die Rechnung im Display mitschreibt)
23.03.2012, 17:03	Cravour	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab jetzt die Nullstellen berechnet, aber wieder gerundet^^: f(x) -> N(7,89 l 0) g(x) -> N(7,92 l 0) h(x) -> N(4,67 l 0) Ich probier das mal aus, aber was ist "Tangens". Hat das was mit Tangenten zu tun ?
23.03.2012, 17:12	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Ergebnisse stimmen Tangens hat in der Tat etwas mit Tangente zu tun, aber das wirst Du im Zusammenhang mit den Trigonometrischen Funktionen sin, cos, tan noch bekommen. Dürfte nicht mehr allzulange auf sich warten lassen. Für den Moment reicht es, wenn Du auf deinem Taschenrechner die Taste mit der Beschriftung tan suchst.
23.03.2012, 17:14	Cravour	Auf diesen Beitrag antworten »
Jop, habe ich gemacht, aber wenn ich das Ergebnis auf dem Taschenrechner mit dem Koeffizienten vor dem x vergleiche, kann ich keine Gemeinsamkeiten entdecken .
23.03.2012, 17:25	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
tan(30°)=0,577 tan(45°)=1 tan(60°)=1,732 Ich weiss natürlich nicht, was für einen Taschenrechner Du benutzt, aber die Eingabe ist eigentlich recht einheitlich: Bei Rechnern die nur Ergebnisse anzeigen: 30 eintippen, dann tan drücken Bei TR, die das Ergebnis erst am Ende ausgeben: "tan" "30" "=" Wichtig ist dabei, dass Dein Taschenrechner im Gradmaß arbeitet. Das erkennst Du an der Anzeige D oder DEG, die irgendwo klein im Display zu finden ist. Solltest Du stattdessen ein R oder RAD sehen, dann arbeitet Dein Taschenrechner im Bogenmaß, welches den Winkel als Strecke auf dem Einheitskreis ansieht. Aber ich denke auch das führt im Moment zu weit.
23.03.2012, 17:28	Cravour	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso. Ja, mein Taschenrechner war nicht im Gradmaß eingestellt^^. Ich hab so ungefähr jetzt verstanden, was das ist. Danke für die Hilfe und auch für die Zusatzinformationen . Wünsche dir einen schönen Abend. Ciao .
23.03.2012, 17:30	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke und Dir auch

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