Riemannsumme, Grenzwert

23.03.2012, 18:30	Flambhirni	Auf diesen Beitrag antworten »
Riemannsumme, Grenzwert Meine Frage: Folgende Aufgabe ist gestellt: "Berechne folgendes Integral durch Betrachtung der Riemannschen Summe:" $\begin{eqnarray} \int_a^b \! e^{\lambda x} \, dx \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \lambda\in\mathbb{R} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Soweit so gut. Sei also $\begin{eqnarray} E=(a=x_0,x_1,...,x_n=b) \end{eqnarray}$ eine (äquidistante) Zerteilung des Intervalls [a,b] mit Feinheit $\begin{eqnarray} \delta(E)=max_{(i=1,2,....,n)}x_i-x_{i-1}=\frac{b-a}{n} \end{eqnarray}$ Woraus folgt: $\begin{eqnarray} x_i=\frac{i(b-a)}{n}+a \end{eqnarray}$ Wenn wir nun für die Auswertung der Riemann'schen Summe jeweils $\begin{eqnarray} x_i \end{eqnarray}$ verwenden, erhalten wir: $\begin{eqnarray} \Sigma(f,E,x_i)=\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\delta(E)=\sum_{i=1}^{n}e^{\frac{i(b-a)}{n}+a}\frac{b-a}{n} \end{eqnarray}$ Das Integral erhalte ich nun, wenn ich die Feinheit gegen Null streben lasse. Anders gesagt soll ich also $\begin{eqnarray} \lim_{n\rightarrow \infty}(\sum_{i=1}^{n}e^{\frac{i(b-1)}{n}+a}\frac{b-a}{n}) \end{eqnarray}$ berechnen, und das bereitet mir nun doch etwas Kopfschmerzen. Also erst einmal: - Habe ich das ganze überhaupt richtig in Angriff genommen? - Und wenn ja, wie forme ich die Summe in eine einigermassen sinnvolle Funktion um? (das muss ich doch, um den Grenzwert zu bestimmen, ja?) - Oder wenn nein, wo liegt mein Denkfehler?
23.03.2012, 19:38	bernd	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Riemannsumme, Grenzwert Das $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ im Exponenten ist unterwegs verloren gegangen, aber das ist erst mal nicht so schlimm. Aus der Summe kann man, bevor man zum Grenzwert übergeht, (b-a)/n vorklammern. Dann ist der Restsummand gleich $\begin{eqnarray} e^a \cdot (e^{(b-a)/n})^i \end{eqnarray}$ , also hat man es mit einer geometrischen Summe zu tun, die man ausrechnen kann.

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