Gleichungssystem

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matschitz Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichungssystem
Meine Frage:

Hey, bin gerade beim üben für eine Prüfung und hänge bei folgendem Bsp.:
Gegeben ist ein Gleichungssystem:

2x + y + z = 0
-2ax + ay + 9z = 6
2x + 2y + az = 1

Gesucht:
1.) für welche a ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar
2.) für welche a existieren beliebig viele Lösungen
3.) für welche a existiert keine Lösung

Meine Ideen:
Das Gleichungssystem liefert mir folgende Matrix:

2 1 1
A= -2a a 9
2 2 a

für 1.) gilt: ist die det(A)ungleich 0, so ist das Gleichunssystem eindeutig lösbar. Ich bekomme: a ungleich 3 und -3/2

für 2.) es existieren belibig viele Lösungen wenn ich die Lösung nur mit hilfe eines faktors bestimmen kann.

für 3.) es existiert keine lösung bei einer Falschen aussage.

wie ich nun 2. und 3. mathematisch richtig umsetzte, bin ich mir nicht sicher. Auf Zeilenstufenform bringen und dann einfach schauen wann 0=0 bzw. falsche aussage??


Danke schon mal im vorraus!
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem
Betrachte (für die beiden as, bei denen keine eindeutige Lösung existiert) den Rang von , wobei b der Vektor (0,6,1)^T ist. Wenn der Rang davon größer ist als der von A, existiert keine Lösung. Bleibt er gleich (also zwei), existieren unendlich viele.

mfg,
Ché Netzer
original Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem
verwirrt
zu 2) und 3) :
schau dir zB dies an:

http://de.wikipedia.org/wiki/Cramersche_...stem_3._Ordnung
oder
http://mathenexus.zum.de/formelsammlunge...ungssysteme.htm
usw..

berechne also die Determinanten A_1 , A_2 und A_3

dann siehst du zB, dass es für a=3 beliebig viele und für a= -3/2 keine Lösung geben wird ..

smile ok?
matschitz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem
Danke, aber wie kommst du darauf dass der Rang von A zwei ist? -Ich hätte gesagt er ist drei!?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem
Für a=3 bzw. a=-3/2 ist die Determinante 0, also kann der Rang nicht 3 sein.

mfg,
Ché Netzer
mateschitz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem
@original: und was mache ich mit den a's in der matrix, setzte ich da ein, lass ich einfach a stehen oder das a einfach weg? Wenn ich 3 oder -3/2 einsetzte dann erhalte ich ja division durch 0 ??
 
 
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem
Für die Bestimmung des Ranges setzt du a ein; aber wo wird durch 0 geteilt?

mfg,
Ché Netzer
original Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem
Zitat:
Original von mateschitz

dann erhalte ich ja division durch 0 ??



ehe du dividierst hast du

x*det(A) = detA_1)
y*det(A) = detA_2)
z*det(A) = detA_3)
oder kurz
x_i * det(A) = det(A_i)


wenn a=3 oder -3/2 ist hast du
x_i * 0 = det(A_i)

da ist also nichts mit Dividieren durch 0
die richtige Überlegung ist dann:
- was muss rechts stehen, wenn links x_i * 0 (... also 0) steht?
wenn rechts jedesmal 0 steht ( also x_i * 0 = 0) gibt es beliebig viele Lösungen
sonst
(wenn rechts nicht jedesmal 0 steht ) gibts keine .. (warum wohl?)

ok?
mateschitz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem
Also habe jetzt für a=3

--> Rang=2



und für a=-3/2

--> Rang=3


Diesen Satz versteh ich nicht: "Wenn der Rang davon größer ist als der von A, existiert keine Lösung. Bleibt er gleich (also zwei), existieren unendlich viele." Wieso zwei???
mateschitz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem
@original: ok, wenn rechts nicht das gleiche wie links steht ist das eine falsche aussage und somit existieren keine lösungen. danke

@Che Netzer: würde mich trotzdem noch interessieren wie du das gemeint hast!
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem
Wie ich was gemeint habe?
Es ist so:
Gegeben sei Ax=b.
Man betrachtet den Rang von A (=n) und den von (A|b) (=m).
Wenn n der Dimension von x entspricht, ist das System eindeutig lösbar (dann ist auch n=m).
Wenn n=m, aber beides kleiner als die Dimension von x ist, gibt es unendlich viele Lösungen.
Wenn n<m, gibt es keine Lösungen.

mfg,
Ché Netzer
mateschitz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem
Fragestellung: Bestimmen sie a so, dass das Gleichungssystem eindeutig lösbar, lösbar, unlösbar ist!



1.) det(A)=0 ergibt mir 2 und -1/2 --> eindeutig lösbar für alle a ausgenommen a=2 und a=-1/2

2.) für a=2, det(A)=0

det(A_1)=2 ; det(A_2)=-3 ; det(A_3)=2 --> unlösbar

3.) für a=-1/2, det(A)=0

det(A_1)=-27/4 ; det(A_2)=9/2 ; det(A_3)=9/2 -->unlösbar


Kann ich daraus jetzt schließen, dass es kein a gibt für dass das Gleichngsystem lösbar (also mit faktor lösbar) ist?


LG
original Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem
Zitat:
Original von mateschitz

...

Kann ich daraus jetzt schließen,
dass es kein a gibt für dass das Gleichngsystem lösbar (also mit faktor lösbar) ist?



na, so ist das aber irgenwie nicht glücklich formuliert...

(denn für alle a ungleich 2 bzw. ungleich -1/2 ist das Ding doch (eindeutig!) lösbar ..)


was du wohl meinst ist dies:
... und für a=2 oder für a=-1/2 gibt es keine Lösung
dh dann: es gibt kein a so, dass das System beliebig viele Lösungen hat. Wink
mateschitz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem
so ich hoffe ich nerve noch nicht, bin aber wieder auf ein Bsp. gestoßen wo ich mir nicht sicher bin. Fragestellung ist wieder die gleiche: Für welche a ist Ax = b eindeutig lösbar, lösbar, nicht lösbar?



Schreibe ich dass jetzt so an?



davon dann die det(A) = 0 --> es gibt keine a für die das Gleichungsystem eindeutig lösbar ist?
weiters erhalte ich:
det(A_1)=0
det(A_2)=0
det(A_3)=0 bei a=31/3 -->daraus würde ich jetzt schließen, wenn a=31/3 ist das gleichungsystem lösbar, für allen anderen a's ist es unlösbar.

Mir kommt aber vor es ist mit a=31/3 eindeutig lösbar?! warum?
original Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem
Zitat:
Original von mateschitz



Schreibe ich dass jetzt so an?



Mir kommt aber vor es ist mit a=31/3 eindeutig lösbar?! warum?


im Prinzip ja smile

schau dir mal die geometrische Sicht an:

du hast lauter Geraden, die alle in der Ebene z=0 herumliegen ..
falls die Dinger nicht auch noch parallel sind, dann haben je zwei der Geraden
einen Schnittpunkt (da ja alle in der gleichen Ebene sind).

und diese Schnittpunkte sind normalerweise alle jeweils voneinander verschieden..

wenn du aber nun a=31/3 wählst, dann gehen die drei dazugehörenden Geraden
alle durch den gleichen Schnittpunkt (die drei bilden dann ein Geradenbüschel)

und da es bei deiner Aufgabe eben nur den einen möglichen Büschelpunkt gibt
(den mit a=31/3 ) - bekommst du in gewissem Sinn also eine eindeutige Lösung..

ok?
mateschitz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem
klar, besten dank!
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