Gleichungssystem |
23.03.2012, 19:56 | matschitz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gleichungssystem Hey, bin gerade beim üben für eine Prüfung und hänge bei folgendem Bsp.: Gegeben ist ein Gleichungssystem: 2x + y + z = 0 -2ax + ay + 9z = 6 2x + 2y + az = 1 Gesucht: 1.) für welche a ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar 2.) für welche a existieren beliebig viele Lösungen 3.) für welche a existiert keine Lösung Meine Ideen: Das Gleichungssystem liefert mir folgende Matrix: 2 1 1 A= -2a a 9 2 2 a für 1.) gilt: ist die det(A)ungleich 0, so ist das Gleichunssystem eindeutig lösbar. Ich bekomme: a ungleich 3 und -3/2 für 2.) es existieren belibig viele Lösungen wenn ich die Lösung nur mit hilfe eines faktors bestimmen kann. für 3.) es existiert keine lösung bei einer Falschen aussage. wie ich nun 2. und 3. mathematisch richtig umsetzte, bin ich mir nicht sicher. Auf Zeilenstufenform bringen und dann einfach schauen wann 0=0 bzw. falsche aussage?? Danke schon mal im vorraus! |
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23.03.2012, 20:06 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Gleichungssystem Betrachte (für die beiden as, bei denen keine eindeutige Lösung existiert) den Rang von , wobei b der Vektor (0,6,1)^T ist. Wenn der Rang davon größer ist als der von A, existiert keine Lösung. Bleibt er gleich (also zwei), existieren unendlich viele. mfg, Ché Netzer |
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23.03.2012, 20:29 | original | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Gleichungssystem zu 2) und 3) : schau dir zB dies an: http://de.wikipedia.org/wiki/Cramersche_...stem_3._Ordnung oder http://mathenexus.zum.de/formelsammlunge...ungssysteme.htm usw.. berechne also die Determinanten A_1 , A_2 und A_3 dann siehst du zB, dass es für a=3 beliebig viele und für a= -3/2 keine Lösung geben wird .. ok? |
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23.03.2012, 20:29 | matschitz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Gleichungssystem Danke, aber wie kommst du darauf dass der Rang von A zwei ist? -Ich hätte gesagt er ist drei!? |
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23.03.2012, 20:42 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Gleichungssystem Für a=3 bzw. a=-3/2 ist die Determinante 0, also kann der Rang nicht 3 sein. mfg, Ché Netzer |
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23.03.2012, 20:44 | mateschitz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Gleichungssystem @original: und was mache ich mit den a's in der matrix, setzte ich da ein, lass ich einfach a stehen oder das a einfach weg? Wenn ich 3 oder -3/2 einsetzte dann erhalte ich ja division durch 0 ?? |
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23.03.2012, 20:50 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Gleichungssystem Für die Bestimmung des Ranges setzt du a ein; aber wo wird durch 0 geteilt? mfg, Ché Netzer |
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23.03.2012, 21:00 | original | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Gleichungssystem
ehe du dividierst hast du x*det(A) = detA_1) y*det(A) = detA_2) z*det(A) = detA_3) oder kurz x_i * det(A) = det(A_i) wenn a=3 oder -3/2 ist hast du x_i * 0 = det(A_i) da ist also nichts mit Dividieren durch 0 die richtige Überlegung ist dann: - was muss rechts stehen, wenn links x_i * 0 (... also 0) steht? wenn rechts jedesmal 0 steht ( also x_i * 0 = 0) gibt es beliebig viele Lösungen sonst (wenn rechts nicht jedesmal 0 steht ) gibts keine .. (warum wohl?) ok? |
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23.03.2012, 21:06 | mateschitz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Gleichungssystem Also habe jetzt für a=3 --> Rang=2 und für a=-3/2 --> Rang=3 Diesen Satz versteh ich nicht: "Wenn der Rang davon größer ist als der von A, existiert keine Lösung. Bleibt er gleich (also zwei), existieren unendlich viele." Wieso zwei??? |
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23.03.2012, 21:16 | mateschitz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Gleichungssystem @original: ok, wenn rechts nicht das gleiche wie links steht ist das eine falsche aussage und somit existieren keine lösungen. danke @Che Netzer: würde mich trotzdem noch interessieren wie du das gemeint hast! |
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23.03.2012, 21:25 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Gleichungssystem Wie ich was gemeint habe? Es ist so: Gegeben sei Ax=b. Man betrachtet den Rang von A (=n) und den von (A|b) (=m). Wenn n der Dimension von x entspricht, ist das System eindeutig lösbar (dann ist auch n=m). Wenn n=m, aber beides kleiner als die Dimension von x ist, gibt es unendlich viele Lösungen. Wenn n<m, gibt es keine Lösungen. mfg, Ché Netzer |
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24.03.2012, 18:28 | mateschitz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Gleichungssystem Fragestellung: Bestimmen sie a so, dass das Gleichungssystem eindeutig lösbar, lösbar, unlösbar ist! 1.) det(A)=0 ergibt mir 2 und -1/2 --> eindeutig lösbar für alle a ausgenommen a=2 und a=-1/2 2.) für a=2, det(A)=0 det(A_1)=2 ; det(A_2)=-3 ; det(A_3)=2 --> unlösbar 3.) für a=-1/2, det(A)=0 det(A_1)=-27/4 ; det(A_2)=9/2 ; det(A_3)=9/2 -->unlösbar Kann ich daraus jetzt schließen, dass es kein a gibt für dass das Gleichngsystem lösbar (also mit faktor lösbar) ist? LG |
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24.03.2012, 20:53 | original | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Gleichungssystem
na, so ist das aber irgenwie nicht glücklich formuliert... (denn für alle a ungleich 2 bzw. ungleich -1/2 ist das Ding doch (eindeutig!) lösbar ..) was du wohl meinst ist dies: ... und für a=2 oder für a=-1/2 gibt es keine Lösung dh dann: es gibt kein a so, dass das System beliebig viele Lösungen hat. |
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25.03.2012, 14:52 | mateschitz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Gleichungssystem so ich hoffe ich nerve noch nicht, bin aber wieder auf ein Bsp. gestoßen wo ich mir nicht sicher bin. Fragestellung ist wieder die gleiche: Für welche a ist Ax = b eindeutig lösbar, lösbar, nicht lösbar? Schreibe ich dass jetzt so an? davon dann die det(A) = 0 --> es gibt keine a für die das Gleichungsystem eindeutig lösbar ist? weiters erhalte ich: det(A_1)=0 det(A_2)=0 det(A_3)=0 bei a=31/3 -->daraus würde ich jetzt schließen, wenn a=31/3 ist das gleichungsystem lösbar, für allen anderen a's ist es unlösbar. Mir kommt aber vor es ist mit a=31/3 eindeutig lösbar?! warum? |
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25.03.2012, 21:59 | original | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Gleichungssystem
im Prinzip ja schau dir mal die geometrische Sicht an: du hast lauter Geraden, die alle in der Ebene z=0 herumliegen .. falls die Dinger nicht auch noch parallel sind, dann haben je zwei der Geraden einen Schnittpunkt (da ja alle in der gleichen Ebene sind). und diese Schnittpunkte sind normalerweise alle jeweils voneinander verschieden.. wenn du aber nun a=31/3 wählst, dann gehen die drei dazugehörenden Geraden alle durch den gleichen Schnittpunkt (die drei bilden dann ein Geradenbüschel) und da es bei deiner Aufgabe eben nur den einen möglichen Büschelpunkt gibt (den mit a=31/3 ) - bekommst du in gewissem Sinn also eine eindeutige Lösung.. ok? |
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26.03.2012, 12:24 | mateschitz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Gleichungssystem klar, besten dank! |
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