Zinsaufgabe

23.03.2012, 21:28

Carlos Valderrama

Zinsaufgabe

Servus:

Folgendes Problem:

Eine Millionen € mit 5% verzinsen, am Ende des Jahres immer Zwölftausend € abziehen und wieder verzinsen.

Also z.b (((1.000.000*1,05-12.000)*1,05-12.000)*1,05-12.000)...

Jetzt hab ich mir folgende Formel überlegt:

$\begin{eqnarray*} 1000000\cdot 1,05^{x} - \sum\limits_{x=1}^x 12000\cdot 1,05^{x-1} \end{eqnarray*}$

Jetzt wollte ich diese mit Wolframalpha verifizieren, und wenn ich

Zitat:

1000000*1.05^(x)-(sum(12000*1.05^(x-1)), x=1 to x)

eingebe wird auch ganz normal die Formel angezeigt.

Wenn ich allerdings einen Testwert wie x=2 einsetzten will, kommt nicht so wirklich was raus bei

Zitat:

1000000*1.05^(x)-(sum(12000*1.05^(x-1)), x=1 to x) where x=2

Er erkennt nur das ab dem Sigma und gibt

Zitat:

Using closest Wolfram|Alpha interpretation: (sum(12000*1.05^(x-1)), x=1 to x) where x=2

Wenn ihr mir nun darlegt, dass meine Formel stimmt, bin ich beruhigt, aber, dass wolframalpha nichts vernünftiges ausgibt, deutet für mich eher daraufhin, dass etwas an der Formel nicht stimmt.

23.03.2012, 21:48

Gualtiero

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RE: Zinsaufgabe
Ich glaube nicht, dass Deine Formel stimmt.

Wenn Du das

Zitat:

Also z.b ((1.000.000*1,05-12.000)*1,05-12.000)*1,05-12.000)...

für z. B. vier Jahre durchrechnest, bekommst Du:

$\begin{eqnarray*} K_4=K_0 \cdot 1.05^4 - R \cdot (1+1.05+1.05^2+1.05^3) \end{eqnarray*}$

Ko: Kapital am Anfang
K4: Kapital nach vier Jahren
R: Betrag von 12000.0

Der Klammerausdruck ist eine geometrische Folge, die sich sehr einfach darstellen läßt.

23.03.2012, 22:04

Carlos Valderrama

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$\begin{eqnarray*} 1.000.000 \cdot 1,05^{4} -12.000\cdot(1+1,05+1,05^{2}+1,05^{3})=1.163.784,75 \end{eqnarray*}$

Jetzt hab ich 1.000.000 in den Taschenrechner eingegeben "für Ans gesetzt" und viermal die Rechnung

$\begin{eqnarray*} Ans\cdot1,05-120000 \end{eqnarray*}$

durchgeführt und es kam auch 1.163.784,75 raus. Wenn also bei beiden dasselbe Ergebnis herauskommt, warum soll meine Formel dann falsch sein?

23.03.2012, 22:14

Gualtiero

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Oh sorry, da habe ich zu wenig geschaut. Ich bin bei den Zinsrechnungen gewohnt, dass der negative Summand so heißt:

$\begin{eqnarray*} -R \cdot \frac{1.05^4-1}{1.05-1} \end{eqnarray*}$

Warum aber Dein Programm dann nicht funktioniert, kann ich leider nicht sagen. Wenn es aber nur um die Bedienung dieser Software geht - dafür haben wir ein eigenes Unterforum.

23.03.2012, 22:21

Carlos Valderrama

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1. Stimmt alos meine Formel?

2. In welchen thread müsste ich dann posten?

23.03.2012, 22:28

Gualtiero

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1. Ich sehe keinen Fehler.

2. Hier geht es um Fragen zu Zeichen- und Rechenprogrammen.

Hast Du es mit meiner Formel versucht?

23.03.2012, 22:40

Carlos Valderrama

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Ja habs jetzt auch mal mit $\begin{eqnarray*} -R \cdot \frac{1.05^4-1}{1.05-1} \end{eqnarray*}$ versucht und es kommt 1.163.784,75 raus.

Wie kommt es, dass $\begin{eqnarray*} 12000\cdot\sum\limits_{n=1}^x 1,05^{x-1} =12000 \cdot \frac{1.05^x-1}{1.05-1} \end{eqnarray*}$ ist?

23.03.2012, 22:41

Iorek

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Du hast x in deiner Formel bei WolframAlpha eine Doppelbedeutung zugewiesen, $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{x=1}^x \end{eqnarray*}$ und das x als Potenz davor solltest du ersetzen.

23.03.2012, 22:57

Carlos Valderrama

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So?

Zitat:

1000000*1.05^(i)-(sum(12000*1.05^(x-1)), x=1 to i) where i=3

Ändert sich leider nichts.

24.03.2012, 01:48

Kasen75

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Zitat:

Wie kommt es, dass
$\begin{eqnarray*} 12000\cdot\sum\limits_{n=1}^x 1,05^{x-1} =12000 \cdot \frac{1.05^x-1}{1.05-1} \end{eqnarray*}$
ist?

Du kannst ja bei deiner Formel die untere Summationsgrenze um 1 runtersetzen und gleichzeitig die Poten ums 1 erhöhen. Ich habe hier in alt-bekannter Schreibweise i und n vertauscht:

$\begin{eqnarray*} 12000\cdot\sum\limits_{x=0}^{n-1} 1,05^{x} =12000*\frac{1,05^n-1}{1,05-1} \end{eqnarray*}$

Die Herleitung ist:

$\begin{eqnarray*} \ \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} S_n = \sum\limits_{x=0}^{n-1} 1,05^{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} . \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ S_n = 1 + 1,05 + (1,05)^2 + ... + 1,05^{n-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (1,05)*S_n = \ \ \ \ 1,05 + (1,05)^2 + ... + 1,05^{n-1} + 1,05^{n} \end{eqnarray*}$

nach Subtraktion der ersten von der zweiten Gleichung:
$\begin{eqnarray*} (1-1,05) *S_n = 1 - 1,05^n \end{eqnarray*}$
nach $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ aufgelöst ergibt:
$\begin{eqnarray*} S_n = \frac{1.05^n-1}{1.05-1} \end{eqnarray*}$

Mit freundlichen Grüßen

03.04.2012, 11:56

Carlos Valderrama

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Aah vielen Dank, kann als gelöst betrachtet werden

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