Anfangs-Rand-Wert-Problem mit Seperationsansatz lösen

23.03.2012, 23:47

Gantz

Anfangs-Rand-Wert-Problem mit Seperationsansatz lösen

Wiedereinmal brauche ich Hilfe bei einer Lösung. Dabie ist es wichtig, ob dass alles so passt, oder ob ich irgendwo schon mist gebaut habe...

Aufgabe: Lösen Sie das ARWP für $\begin{eqnarray*} u:\left[0,\pi \right]\times \left[0,\infty \right) \Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u_{t}\left(x,t\right)-4\cdot u_{xx}\left(x,t\right) =0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \forall \left(x,t\right)\in \left(0,\pi \right)\times \left(0,\infty \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u\left(0,t\right)= u\left(\pi ,t\right) =0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \forall t \in \left[0,\infty \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u\left(x,0\right)= \sin(x) - 4\sin(3x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \forall x \in \left[0,\pi \right] \end{eqnarray*}$

Lösungsansatz:
http://de.wikipedia.org/wiki/Separationsansatz
http://blogs.ethz.ch/leiser/2010/11/08/schritt-fur-schritt-ein-awp-losen-mittels-separationsansatz/

1. Seperationsansatz:
$\begin{eqnarray*} u\left(x,t\right)= X(x)T(t) \end{eqnarray*}$

2. Separationsansatz partiell ableiten
$\begin{eqnarray*} u_{x} \left(x,t\right)= T(t)X'(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u_{xx} \left(x,t\right)= T(t)X''(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u_{t} \left(x,t\right)= X(x)T'(t) \end{eqnarray*}$

3.Nun setzen wir [2] in die PDG ein (um weitere notwendige Bedingungen zu erhalten):

$\begin{eqnarray*} X(x)T'(t)-4\cdot T(t)X''(x) =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow X(x)T'(t) =4\cdot T(t)X''(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow_{X(x)\neq 0,T(t)\neq 0,\forall x,t\in \mathbb R } \Rightarrow \frac{T'(t)}{T(t)} =4\cdot\frac{X''(x)}{ X(x)} = \lambda \end{eqnarray*}$

4.Jetzt haben wir also zwei gewöhnliche Differentialgleichungen
$\begin{eqnarray*} 4\cdot\frac{X''(x)}{ X(x)} = \lambda \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{T'(t)}{T(t)} = \lambda \end{eqnarray*}$

5. Lösen der GDGs:

T-Teil:
$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{T} \, dT = \int \! \lambda \, dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow ln| T | =\lambda\cdot t \end{eqnarray*}$

durch Exponentieren
$\begin{eqnarray*} T(t) =e^{\lambda\cdot t} \end{eqnarray*}$

X-Teil:
$\begin{eqnarray*} \int \int \! \frac{1}{ X} \, dX \! \, dX = \int \int \! \frac{\lambda}{4} \, dx \! \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \! ln| X | \, dX = \frac{\lambda}{4}\int \! x \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X\cdot (ln| X |-1) = \frac{\lambda}{4}\cdot ln| x| \end{eqnarray*}$

durch Exponentieren
$\begin{eqnarray*} e^{X\cdot (ln| X |-1)} = e^{\frac{\lambda}{4}\cdot ln| X |} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{Xln| X |}-e^{X}\Rightarrow X^{X}-e^{X} = x^{\frac{\lambda}{4}}\Leftarrow e^{\frac{\lambda}{4}\cdot ln| X |} \end{eqnarray*}$

Ab jetzt bin ich ein bisschen überfragt. Man brauch ja X(x)=?
Wäre natürlich auch fraglich, ob dass alles so richtig ist bisher.
Danach kann ich weitermachen...
Vielen Dank für ihre Hilfe.

23.03.2012, 23:56

Che Netzer

Anfangs-Rand-Wert-Problem mit Seperationsansatz lösen

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