Koordinatengleichung

24.03.2012, 09:48

datAnke

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Koordinatengleichung

Hallo und schon mal danke

Parametergleichung der Ebene

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} +s \begin{pmatrix} 0\\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

die soll ich nun in eine Koordinatengleichung umwandeln,
das will nicht, weil in ersten Zeile alles Null ist.
Demzufolge ist die Ebene parallel zur x2-x3-Ebene.
irgendwie hilft mir das auch nicht

wie geht das?

danke
datAnke

24.03.2012, 09:55

Che Netzer

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RE: Koordinatengleichung
Die x2-x3-Ebene wird ja durch x1=0 beschrieben. Wenn man die verschiebt, ist die Gleichung für eine dazu parallele Ebene x1=c.
c kannst du durch Einsetzen bestimmen, z.B. des Stützvektors.

Allgemeines Vorgehen:
Kreuzprodukt der Richtungsvektoren bilden; davon das Skalarprodukt mit (x,y,z)^T und mit einer Konstanten gleichsetzen. Diese durch Einsetzen ermitteln.

mfg,
Ché Netzer

24.03.2012, 10:16

datAnke

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RE: Koordinatengleichung
Hallo

ich kann weder das Skalar- noch das Kreuzprodukt verwenden,

bisher wurde s so gemacht

drei Gleichungen aufstellen

$\begin{eqnarray*} x_1=0+0s+0t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2=-1+2s-3t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_3=2+3s+1t \end{eqnarray*}$

nun kümmert man sich um s und t
wobei nun eine Variable übrig bleibt

$\begin{eqnarray*} x_1=0+0s+0t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2=-1+2s-3t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3x_3=6+9s+3t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2+3x_3=5+11s \end{eqnarray*}$

das s bekomme ich nun nicht mehr weg

wie geht es weiter?

danke
datAnke

24.03.2012, 10:29

Che Netzer

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RE: Koordinatengleichung
Stell diese Gleichung doch nach s um und setze sie in die erste ein, wenn du möchtest.
Du brauchst ja nur eine Gleichung die genau dann erfüllt ist, wenn der eingesetzte Punkt in der Ebene liegt.
Nimm dir doch mal einen beliebigen Punkt, bei dem die erste Koordinate 0 ist und überlege dir, wann er in der Ebene liegen könnte.

mfg,
Ché Netzer

24.03.2012, 11:40

datAnke

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RE: Koordinatengleichung
keine Ahnung , *achselzuck*

das s muss irgendwie weg aber ich kann die erste Gleichung nicht benutzen da ja alles Null ist x_1=0, da ist ja kein s bzw t mehr drin.

danke datAnke

24.03.2012, 11:42

Che Netzer

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RE: Koordinatengleichung

Zitat:

Original von datAnke
da ist ja kein s bzw t mehr drin.

So soll es doch auch sein, oder?

mfg,
Ché Netzer

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24.03.2012, 12:00

datAnke

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RE: Koordinatengleichung
hmm, und wie heisst nun die Koordinatengleichung *gruebel*

danke
datAnke

24.03.2012, 12:02

Che Netzer

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RE: Koordinatengleichung
Ich wiederhole mal den Tipp: Untersuche mal, wann ein Punkt mit x1=0 in der Ebene liegt.

mfg,
Ché Netzer

24.03.2012, 13:46

datAnke

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RE: Koordinatengleichung
ok,

ich wähle den Stützvektor als Punkt (0,-1,2)

die Koordinatengleichung heißt

$\begin{eqnarray*} ax_1+bx_2+cx_3=d \end{eqnarray*}$

a kann wenn ich das nun richtig sehen alles sein ausser null, wähle ich also a=1

$\begin{eqnarray*} 1\cdot 0+1\cdot (-1)+3\cdot 2=5 \end{eqnarray*}$

demzufolge ist d=5

die Gleichung lautet dann

$\begin{eqnarray*} x_1+x_2+3\cdot x_3=5 \end{eqnarray*}$

ist das richtig??

danke
datAnke

24.03.2012, 14:07

Che Netzer

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RE: Koordinatengleichung
Deine Gleichung wäre auch für den Punkt (1,-1,0) erfüllt.

Andere Frage: Wieso sollte es nötig sein, dass alle drei Variablen in der Gleichung auftauchen?

mfg,
Ché Netzer

24.03.2012, 14:38

datAnke

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RE: Koordinatengleichung
ich dachte es mir,

aber wie soll dann die Gleichung dann sein? *grübel*

danke
datAnke

24.03.2012, 14:44

Che Netzer

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RE: Koordinatengleichung
Naja, ich schätze, nach der Diskussion kann ich es verraten: x1=0

mfg,
Ché Netzer

24.03.2012, 16:48

datAnke

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RE: Koordinatengleichung
das ist ja klar das x_1=0 ist, das ist mir von Anfang an klar, nur das erklärt mir immer noch nicht die Koordinatengleichung, und schon garnicht warum a wegfallen sollen.

danke
datAnke

24.03.2012, 16:57

Che Netzer

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RE: Koordinatengleichung
Was denn bitte für ein a?
Und die Koordinatengleichung IST x1=0.
Wenn du einen beliebigen Punkt der Ebene in x1=0 einsetzt, dürfte das eine wahre Aussage sein.
Und außerdem kannst du jeden Punkt der Form (0,x2,x3)^T mithilfe der Ebenengleichung darstellen.

mfg,
Ché Netzer

24.03.2012, 17:07

datAnke

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RE: Koordinatengleichung
die Koordinatengleichung heisst

$\begin{eqnarray*} ax_1+bx_2+cx_3=d \end{eqnarray*}$

meine Frage wie heisst die Koordinatengleichung der Ebene
$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} +s \begin{pmatrix} 0\\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

danke
datAnke

24.03.2012, 17:27

Che Netzer

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RE: Koordinatengleichung
Die heißt $\begin{eqnarray*} x_1=0 \end{eqnarray*}$ . Wink

Wink

mfg,
Ché Netzer

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